Дроби

Дробь — число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b}.

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

Содержание

СкрытьПоказать

Основное свойство дроби

Если ad=bc, то две дроби \frac{a}{b}и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35и \frac{9}{15}, так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9, \frac{12}{7}и \frac{24}{14}, так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24.

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b}и \frac{am}{bm}, так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20}(числитель и знаменатель делится на число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5, то есть \frac{15}{20}=\frac 34.

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3}и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8. Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3}на 8. Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}. Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8}на 3. Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}. Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24.

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b};

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12}.

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b};

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d},

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40}.

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc},

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c}.

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2}.

Взаимно обратные числа

Если ab=1, то число b является обратным числом для числа a.

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9}, так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1, для числа 5 — \frac{1}{5}, так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, ..., 10^n.

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044.

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63.

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.

Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2.

Арифметические действия над десятичными дробями

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Сложение десятичных дробей в столбик

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Вычитание десятичных дробей в столбик

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 \cdot 13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Умножение десятичных дробей в столбик

Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Деление десятичных дробей в столбик

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Деление десятичных дробей в столбик

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Деление десятичных дробей в столбик

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8 : 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9}.