Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

\sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Содержание

СкрытьПоказать

Зависимость между синусом и косинусом

\sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha, которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z, а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha, отличного от \pi z, z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha, которые отличны от \frac{\pi}{2} z. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x}, а ctg \alpha=\frac{x}{y}. Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1, равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha, отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z.

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha, отличного от \pi z.

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha, если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1. Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12, получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right )^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2}.

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. Соответствующие величины нам известны.

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha, если \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi.

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2}, получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right )^{2} + \cos^{2} \alpha = 1. Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14.

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12 : \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3}.