Ромб

Ромб — это четырехугольник, имеющий равные длины сторон.

Ромб ABCD с равными сторонами

Ромб является частным случаем параллелограмма.

Ромб имеющий прямые углы является квадратом.

Содержание

СкрытьПоказать

Свойства ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD,\;BC = AD

Ромб с противолежащими равными и параллельными сторонами

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

AC\perp BD

Ромб с перпендикулярными диагоналями

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Ромб с диагоналями и точкой пересечения

Значит, \triangle BOC = \triangle DOC по трем сторонам (BO = OD, OC — совместная, BC = CD). Получаем, что \angle BOC = \angle COD, и они смежны.

\Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} и \angle COD = 90^{\circ}.

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

Ромб с точкой пересечения диагоналей делящей их пополам

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.

Доказательство

Ромб с диагоналями являющиеся биссектрисами его углов

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

Ромб с четырьмя прямоугольными треугольниками

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Ромб с окружностью с центром в точке пересечения диагоналей

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Ромб это параллелограмм с перпендикулярными диагоналями

\begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} — параллелограмм, \Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

Ромб с диагоналями являющиеся катетами треугольников

ABCD является параллелограммом \Rightarrow AO = CO; BO = OD. Также указано, что AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD.

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

Ромб с диагоналями разделяющими углы

\angle A = \angle C, поскольку ABCD — параллелограмм. AC — биссектриса \angle A и \angle C.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Диагональ ромба делит его на равнобедренные треугольники

Это означает, что AB = BC = CD = DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Фигура не являющаяся ромбом с перпендикулярными диагоналями

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2