Синус, косинус, тангенс, котангенс

Синус, косинус, тангенс и котангенс — это тригонометрические функции углов треугольника, определенные отношением его сторон.

Содержание

СкрытьПоказать

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Прямоугольный треугольник ABC

Синус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha.

\sin \alpha=y

Единичная окружность с ординатой точки и углом \alpha

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha.

\cos \alpha=x

Единичная окружность с абсциссой точки и углом \alpha

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha.

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Единичная окружность с линией тангенсов и углом \alpha

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha.

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Единичная окружность с линией котангенсов и углом \alpha

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM, где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M}, \cos \alpha=x_{M}, tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}}, ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}}.

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4}, то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2}абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2};

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2};

tg \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-1;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-1.

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

 0^{\circ} (0)30^{\circ}\left(\frac{\pi}{6}\right)45^{\circ}\left(\frac{\pi}{4}\right)60^{\circ}\left(\frac{\pi}{3}\right)90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2}\right)180^{\circ}\left(\pi\right)270^{\circ}\left(\frac{3\pi}{2}\right)360^{\circ}\left(2\pi\right)
\sin\alpha0\frac12\frac{\sqrt 2}{2}\frac{\sqrt 3}{2}10−10
\cos\alpha1\frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt 2}{2}\frac120−101
tg \alpha0\frac{\sqrt 3}{3}1\sqrt300
ctg \alpha\sqrt31\frac{\sqrt 3}{3}00