Задание №1009

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В июне планируется взять кредит в банке на сумму 455 000 рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый год в январе месяце долг повышается на 20% по сравнению с концом прошлого года;
  • с февраля по май каждого года требуется выплатить часть долга;
  • ежегодные выплаты составляют одну и ту же постоянную величину.

На сколько лет берется кредит, если известно, что общая сумма выплат по кредиту после его полного погашения составит 648 000 рублей?

Показать решение

Решение

Пусть:

k=455 тыс. рублей — сумма кредита,

x тыс. рублей — сумма ежегодного платежа,

n — число лет, на которые планируется взять кредит.

Из условия следует таблица:

ГодПлатежОстаток
1x1,2k-x
2x1,2(1,2k-x)-x=1,2^2k-1,2x-x
3x1,2(1,2^2k-1,2x-x)-x=1,2^3k-1,2^2x-1,2x-x
.........
nx1,2^nk-1,2^{n-1}x-...-1,2x-x

Из этой таблицы и условия задачи следует система уравнений:

\begin{cases} nx=648, \\ 1,2^n k-1,2^{n-1}x-...-1,2x-x=0.\end{cases}

Второе уравнение этой системы можно записать в виде

1,2^n k- x(1,2^{n-1}+1,2^{n-2}+...+1,2+1)=0.

Так как 1,2^{n-1}+1,2^{n-2}+...+1,2+1 — сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 1,2, то 1,2^{n-1}+1,2^{n-2}+...+1,2+1= \frac{1,2^n -1}{1,2-1}= \frac{1,2^n-1}{0,2}.

Тогда, учитывая, что x=\frac{648}{n} из первого уравнения системы, для второго уравнения получим:

1,2^n k-\frac{648}{n} \cdot \frac{1,2^n-1}{0,2}=0

1,2^n \cdot 455 \cdot n \cdot 0,2-648(1,2^n-1)=0;

(648-91n) \cdot 1,2^n=648.

Так как 648-91n > 0, то 91n < 648. Отсюда, n \leq 7.

Перепишем последнее уравнение в виде

(648-91n) \cdot 6^n=648 \cdot 5^n;

6^n-5^n=\frac{91n \cdot 6^n}{648};

6^n-5^n=7 \cdot 13 \cdot n \cdot 2^{n-3} \cdot 3^{n-4}.

Так как справа от знака равенства должно быть целое число, то n \geq 3.

Перебором находим единственный целый корень уравнения n=3.

Замечание.

Можно ограничить n, если использовать свойства делимости. Выразим n из последнего уравнения:

n=\frac{(6^n-5^n) \cdot 3^4 \cdot 2^3}{7 \cdot 13 \cdot 3^n \cdot 2^n}.

Это натуральное число, значит, число множителей 2 в знаменателе не больше числа множителей 2 в числителе, то есть n \leq3.

Ответ

3

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены