Задание №1010

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Мясокомбинат производит котлеты из свиного фарша и котлеты из говяжьего фарша. Ниже приведена таблица, в которой указаны себестоимость, отпускная цена, а также производственные способности комбината по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Вид продукции

Себестоимость (руб. за центнер)

Отпускная цена (руб. за центнер)

Производственные возможности
Котлеты из свиного фарша15 00022 00036 (центнеров в мес.)
Котлеты из говяжьего фарша18 00028 00030 (центнеров в мес.)

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 12 центнеров. Предполагая, что вся продукция находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить мясокомбинат от производства котлет за 1 месяц.

Показать решение

Решение

Пусть x — доля мощностей комбината, занятых под производство котлет из свиного фарша, а y — доля мощностей, занятых под производство котлет из говяжьего фарша. Тогда x+y=1, при этом котлет из свиного фарша производится 36x центнеров, а котлет из говяжьего фарша — 30y центнеров. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что

36x \geq 12, 30y \geq 12, откуда x \geq \frac{1}{3}, y \geq \frac{2}{5}. Тогда \begin{cases} y=1-x, \\ x \geq \frac{1}{3},\,y \geq \frac{2}{5}\end{cases} или \begin{cases} y=1-x, \\ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{3}{5}. \end{cases}

Так как каждый центнер котлет из свиного фарша даёт прибыль 7000 руб. (22\,000-15\,000), а центнер котлет из говяжьего фарша — 10 000 руб. (28\,000-18\,000), то общая прибыль от произведенной за месяц продукции равна 7000 \cdot 36x+10\,000 \cdot 30y= 6000(42x+50y).

По условию задачи нужно найти максимально возможную прибыль, которую может получить мясокомбинат от производства котлет за 1 месяц.

Значит, необходимо найти наибольшее значение выражения 6000(42x+50y) при условии

\begin{cases}y=1-x, \\ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{3}{5}. \end{cases}

6000(42x+50y)= 6000(42x+50(1-x))= 6000(50-8x).

Пусть g(x)=6000(50-8x). Очевидно, g(x) — убывающая функция, которая принимает наибольшее значение в левом конце промежутка \left [ \frac{1}{3}; \frac{3}{5}\right ].

g\left (\frac{1}{3} \right )= 6000\left (50-8\cdot \frac{1}{3} \right )= 6000 \cdot \frac{142}{3}= 284\,000. Поэтому максимально возможная прибыль за месяц равна 284 000 рублей.

Ответ

284 000 рублей.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены