Задание №1013

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

\begin{cases} y=\sqrt{-5-6x-x^{2}},\\ y-ax=2-3a\end{cases} имеет ровно два решения.

Показать решение

Решение

Построим график уравнения y=\sqrt{-5-6x-x^{2}}.

Преобразовав подкоренное выражение, получим

y=\sqrt{4-(x^{2}+6x+9)}, y=\sqrt{2^{2}-(x+3)^{2}}.

Если y \geq 0, то y^{2}=2^{2}-(x+3)^{2}, (x+3)^{2}+y^{2}=2^{2}.

Если y < 0, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке (-3;0) радиусом 2, лежащая в верхней полуплоскости.

Полуокружность лежащая в верхней полуплоскости

Уравнение y-ax=2-3a запишем в виде y=a(x-3)+2 — семейство прямых с угловым коэффициентом a, проходящих через точку M (3;2).

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если a_{1} < a \leq a_{2}. Прямая BM касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен 0, значит, a_{1}=0. Найдем a_{2} из условия, что прямая AM y=a(x-3)+2 проходит через точку A (-5;0).

a(-5-3)+2=0,\, a=\frac{1}{4}, значит, a_{2}=\frac{1}{4}.

Следовательно, система имеет ровно два решения при 0 < a \leq \frac{1}{4}.

Ответ

\left ( 0; \frac{1}{4}\right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены