Задание №120

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=x^5-5x^3-20x на отрезке [−3; 1].

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=5x^4-15x^2-20

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

5x^4-15x^2-20=0

x^4-3x^2-4=0

Сделаем замену y = x^2 и решим квадратное уравнение.

y^2-3y-4=0

D=9-4\cdot (-4)=25

y_1=\frac{3+5}{2}=4

y_2=\frac{3-5}{2}=-1 

Сделаем обратную замену:

x^2 = -1 – не принадлежит множеству действительных чисел.

x^2=4

x=\pm2

На отрезке [−3; 1] лежит только одна точка −2.

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = −2 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −2 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = −2.

y(-2)=(-2)^5-5(-2)^3+40=48

Наибольшее значение функции равно 48.

Ответ

48

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены