Задание №130

Тип задания: 12
Тема: Исследование произведений

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x^2+12x+33)e^{-3-x} на отрезке [−7; 0].

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=(2x+12)\cdot e^{-3-x}+(x^2+12x+33)\cdot e^{-3-x}\cdot(-1)

y'=e^{-3-x}(2x+12-x^2-12x-33)

y'=(-x^2-10x-21)e^{-3-x}

y'=-(x^2+10x+21)e^{-3-x}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(x^2+10x+21)e^{-3-x}=0

Решим квадратное уравнение x^2+10x+21=0:

D=100-84=16

x_{1,2}=\frac{-10\pm4}{2}

x_1=-3; \enspace x_2=-7

На числовой оси отложим граничные точки отрезка, точки экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = −3 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −3 – точка максимума функции.

Ответ

-3

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены