Задание №168

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Правильная треугольная пирамида SABC (ABC – основание) имеет боковое ребро SA=SB=SC=8 и сторону основания AB=BC=AC=12. На середине ребер SB и SC были соответственно взяты точки E и F. Плоскость \alpha, которой принадлежит прямая EF, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит биссектрису основания пирамиды AA_1 в отношении 5:1, считая от точки A.

б) Вычислите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью \alpha.

Показать решение

Решение

Правильная треугольная пирамида SABC

а) EF\parallel BC (как средняя линия \bigtriangleup SBC) \Rightarrow EF\parallel ABC.

Сечение пересекает плоскость основания ABC в некоторой прямой PQ \parallel EF.

Рассмотрим плоскость AA_1S.

Точка K - центр пересечения EF и A_1S, H – центр основания ABC, L – точка пересечения плоскости SAA_1 и прямой PQ.

\begin{cases} PEF \perp ABC \\ SAA_1 \perp ABC \end{cases} \Rightarrow KL \perp ABC, KL \parallel SH

FE – средняя линия \bigtriangleup SBC, A_1K=KS, следовательно, A_1L=LH (т.к. A_1H – проекция прямой A_1S на плоскость основания).

Медиана AA_1 делится точкой H в соотношении: AH:HA_1=2:1 \Rightarrow AL:LA_1=5:1, ч.т.д.

б) Рассмотрим трапецию PEFQ.

EF = \frac{1}{2} BC = 12:2 = 6

\frac{PQ}{BC} = \frac{AL}{AA_1} = \frac{5}{6} 

PQ=\frac{5BC}{6}=\frac{5\cdot 12}{6}=10

AH=\frac{2}{3} AA_1= \frac{2}{3}\sqrt{AB^2-(\frac{1}{2}AB)^2}= \frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}AB= \frac{\sqrt{3}\cdot 12}{3}=4\sqrt{3}

KL=\frac{1}{2}SH= \frac{1}{2}\sqrt{SA^2-AH^2}= \frac{1}{2}\sqrt{8^2-(4\sqrt{3})^2}=2 

S_{PEFQ}=\frac{1}{2}(EF+PQ)\cdot KL= \frac{1}{2}(6+10)\cdot 2=16

Ответ

16

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены