Задание №170

Условие

Площадь сечения, плоскостью SAC, правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 32\sqrt{3}, а площадь основания пирамиды ABCD равна 64.

а) Докажите, что угол между плоскостью основания, правильной четырехугольной пирамиды и боковым ребром равен 60^{\circ}.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Показать решение

Решение

Сторона основания пирамиды равна 8. Тогда диагональ основания AC равна 8\sqrt{2}.

Пусть SH – высота пирамиды, тогда угол между боковым ребром SA и плоскостью основания – это угол SAC.

а) Площадь треугольника SAC равна \frac{1}{2}AC\cdot SH=32\sqrt{3}, откуда SH=\frac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}=4\sqrt{6}.

Следовательно, tg SAC=\frac{SH}{AH}= \frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}=\sqrt{3}, а значит угол SAC равен 60^{\circ}.

б) Возьмем SM – за высоту грани SAB. Тогда получим

SM=\sqrt{SH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{96+16}=4\sqrt{7}.

Отсюда следует S_{SAB}=\frac{SM\cdot AB}{2}=4\sqrt{7}\cdot 4=16\sqrt{7}.

Следовательно, площадь боковой поверхности равна 16\sqrt{7}\cdot 4=64\sqrt{7} – что и требовалось найти по условию.

Ответ

б) 64\sqrt{7}

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены