Задание №178

Условие

а) Решите уравнение \cos 2x-2\sqrt{2}\sin \left ( \frac{\pi }{2}+x \right )-2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [\pi; \frac{5\pi }{2} \right ].

Показать решение

Решение

а) Используя формулу косинуса двойного угла \cos 2x=2\cos^2x-1 и формулу приведения \sin \left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=\cos x, преобразуем исходное уравнение к виду:

2\cos^{2}x-2\sqrt{2}\cos x-3=0;

(\sqrt{2}\cos x+1)(\sqrt{2}\cos x-3)=0.

Значит, \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, откуда x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}, или x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}.

Уравнение \cos x=\frac{3\sqrt{2}}{2} корней не имеет, так как \frac{3\sqrt{2}}{2}>1.

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку \left [\pi ; \frac{5\pi }{2} \right ].

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Получим число \frac{5\pi }{4}.

Ответ

а) \frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}, -\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}б) \frac{5\pi }{4}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены