Задание №179

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный шестиугольник. Через сторону этого шестиугольника и середину высоты конуса проведена плоскость \alpha.

а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью \alpha равен 45^{\circ}.

б) Найдите площадь сечения плоскостью \alpha шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен 2.

Показать решение

Решение

а) Пусть радиус основания равен r, O — центр основания.

Конус с правильным шестиугольником в основании

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF, OB=r, \angle BOA=60^{\circ}, \bigtriangleup AOB - равносторонний, его высота OH=\frac{OB\sqrt{3}}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{2}. Через прямую OH и высоту конуса OS проведем осевое сечение конуса, в сечении получим \bigtriangleup SMN.

Шестиугольник в кругеТреугольник

Пусть K — середина OS. \bigtriangleup SMN - равносторонний (так как образующая конуса равна диаметру его основания) со стороной 2r. Тогда SO=\frac{2r\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}, OK=\frac{r\sqrt{3}}{2}, OK=OH, следовательно, прямоугольный \bigtriangleup OHK - равнобедренный \angle KHO=45^{\circ}. Так как OH — проекция KH на плоскость основания конуса, OH\perp AB по построению, то KH\perp AB по теореме о трех перпендикулярах, следовательно, \angle KHO - линейный угол двугранного угла между плоскостью \alpha и плоскостью основания конуса. Значит, двугранный угол равен 45^{\circ}, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим шар, вписанный в конус и осевое сечение, описанное выше. В сечении шара плоскостью MSN получим окружность, центр которой в точке Q (точке пересечения медиан \bigtriangleup MSN), OQ:QS=\frac{1}{2}, OS=r\sqrt{3}=2\sqrt{3}, SQ=\frac{4}{3}\sqrt{3}. SK=\frac{1}{2}OS=\sqrt{3}, QK=SQ-SK=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Шар, вписанный в конус и осевое сечение

OQ=\frac{1}{3}SO=\frac{2\sqrt{3}}{3}=QL - радиус вписанного шара. Пусть QQ' \perp HK, тогда \bigtriangleup KQQ' — прямоугольный и равнобедренный (\angle QKQ'=45^{\circ}), QQ'=\frac{KQ}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt{6}}, Q'L^2=QL^2-(QQ')^2=\frac{7}{6}

Q'L — радиус круга, полученного в сечении шара плоскостью \alpha. Тогда площадь сечения равна \pi Q'L^2=\frac76\pi.

Ответ

б) \frac{7}{6}\pi.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены