Задание №180

Условие

Решите неравенство \log_{15}(x^2-6x+8)\geqslant \log_{x-1}(x^2-6x+8).

Показать решение

Решение

ОДЗ \begin{cases}x^2-6x+8>0, \\ x-1>0, \\ x-1\neq1. \end{cases}

Решим уравнение x^2-6x+8=0, получим x_1=2, x_2=4. Тогда неравенство x^2-6x+8>0 равносильно условию x<2, x>4.

ОДЗ примет вид \begin{cases}x<2, x>4, \\ x>1, \\ x\neq2; \end{cases}

x\in (1;2)\cup (4; + \infty ).

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство, получим

\frac{\ln(x^2-6x+8)}{\ln15}\geqslant\frac{\ln(x^2-6x+8)}{\ln(x-1)};

\ln(x^2-6x+8)\left(\frac{1}{\ln15}-\frac{1}{\ln(x-1)}\right)\geqslant0,

\ln(x^2-6x+8)\left(\frac{\ln(x-1)-\ln15}{\ln15\ln(x-1)}\right)\geqslant0,

\frac{\ln(x^2-6x+8)\ln\dfrac{x-1}{15}}{\ln15\ln(x-1)}\geqslant0.

Заметим, что e>1,15>1, следовательно, \ln15>0.

Отсюда \frac{\ln(x^2-6x+8)\ln\left(\dfrac{x-1}{15}\right)}{\ln(x-1)}\geqslant0.

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

\frac{((x^2-6x+8)-1)\left(\dfrac{x-1}{15}-1\right)}{(x-1)-1}\geqslant0;

\frac{(x^2-6x+7)(x-16)}{x-2}\geqslant0 (1), так как знак \ln f(x) совпадает со знаком (f(x)-1) на ОДЗ выражения \ln f(x).

Решим уравнение

x^2-6x+7=0, получим x_{1,2}=3\pm \sqrt{2}.

Тогда неравенство (1) примет вид

\frac{(x-(3-\sqrt{2}))(x-(3+\sqrt{2}))(x-16)}{x-2}\geqslant0.

Заметим, что 1<\sqrt{2}<2, следовательно, 1<3-\sqrt{2}<2, \enspace4<3+\sqrt{2}<5.

Воспользуемся методом интервалов, получим x\in (-\infty ;3-\sqrt{2}]\cup (2;3+\sqrt{2}]\cup [16;+\infty ).

Метод интервалов

С учетом ОДЗ запишем решение исходного неравенства:

x\in (1;3-\sqrt{2}]\cup (4;3+\sqrt{2}]\cup [16;+\infty ).

Ответ

(1;3-\sqrt{2}]\cup (4;3+\sqrt{2}]\cup [16;+\infty ).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены