Задание №198

Условие

а) Решите уравнение \frac{|\sin x|}{\sin x}+2=2\cos x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-1;8].

Показать решение

Решение

а) Рассмотрим два случая:

1) \sin x >0, тогда |\sin x|=\sin x и уравнение примет вид 2\cos x=3 или \cos x=\frac{3}{2}. Уравнение не имеет корней, так как -1 \leqslant \cos x \leqslant 1.

2) \sin x < 0, тогда |\sin x|=-\sin x и уравнение примет вид 2\cos x=1, или \cos x=\frac{1}{2}; \enspace x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}. Учитывая условие \sin x < 0, получим: x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}.

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку [-1;8].

3,14<\pi<3,15, следовательно -\pi<-3,14, то есть -\frac{\pi}{3}<-1.

-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}<8, следовательно, \frac{5\pi}{3}\in [-1;8].

-\frac{\pi}{3}+4\pi=\frac{11\pi}{3}>8.

Получили число \frac{5\pi}{3} — единственный корень на рассматриваемом промежутке.

Ответ

а) -\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in \mathbb{Z};

б) \frac{5\pi}{3}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены