Задание №205

Условие

В правильном тетраэдре SABC на ребре AC взята точка F так, что AF:FC=2:1.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, F и высоту грани BSC, проведенную к ребру SC.

б) Найдите расстояние от точки F до плоскости BSC, если ребро тетраэдра равно 12.

Показать решение

Решение

а) В треугольнике BSC проведем высоту BE. Соединим точки B, E и F. \bigtriangleup BEF — искомое сечение.

Тетраэдр BSC с сечением

б) 1) Изобразим тетраэдр так, как показано на рисунке ниже:

Тетраэдр BSC с сечением BEF, высотой и правильным треугольником

Пусть AO — высота правильного тетраэдра ABCS, AO\perp (BSC). Так как тетраэдр правильный то O — центр описанной окружности \bigtriangleup BCS, CO — ее радиус, CO=\frac{a\sqrt{3}}{3}, где a=12 — сторона правильного треугольника SBC, CO =4\sqrt{3}.

2) \bigtriangleup CAO — прямоугольный, \angle AOC=90^{\circ}. По теореме Пифагора AO=\sqrt{AC^2-CO^2}=\sqrt{144-48}=4\sqrt{6}.

3) Пусть FK\perp CO. Тогда FK \parallel AO, AO\perp (BSC), следовательно, FK\perp (BSC). Значит, FK — искомое расстояние.

4) Заметим, что \bigtriangleup FCK \sim \bigtriangleup AOC по двум углам (\angle FKC=\angle AOC=90^{\circ}, \angle C — общий), тогда \frac{FK}{AO}=\frac{FC}{AC}=\frac{FC}{FC+AF}. Учитывая, что по условию AF=2FC, получаем \ \frac{FK}{AO}=\frac{FC}{FC+2FC}=\frac{1}{3}, FK=\frac{AO}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}.

Ответ

\frac{4\sqrt{6}}{3}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены