Задание №211

Тип задания: 18
Тема: Функции с параметром

Условие

При каких значениях параметра a область определения функции

y=\log_{\tfrac{1}{4}} (\sqrt{x}\log_{a}5-\sqrt{a}\log_{a}5-x^{\tfrac{1}{2}+\log_{x}(\log_{a}x)}+\sqrt{a}\log_{a}x)

содержит ровно 4 целых числа?

Показать решение

Решение

Область определения исходной функции задается системой неравенств:

\left \{\!\!\! \begin{array}{l} \left [\!\! \begin{array}{l} 0<a<1,\\ a>1; \end{array} \right . \\ x>0,\\ x\neq1,\\ \log_ax>0,\\ \sqrt x\log_a5-\sqrt a\log_a5-x^\tfrac12x^{\log_x(\log_ax)}+\sqrt a\log_ax>0. \end{array} \right .

Преобразуем последнее неравенство

\log_{a}5(\sqrt{x}-\sqrt{a}) - \sqrt{x}\log_{a}x + \sqrt{a}\log_{a}x\ > 0,

(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\log_{a}5-\log_{a}x)>0,  (x-a) (x-5) (a-1) < 0 (1)

Если 0<a<1, то a-1<0.

Неравенство (1) примет вид (x-a) (x-5)>0, где x\in (0;a) \cup (5;+\infty) , при этом при x>5 условие \log_{a}x>0 нарушено для всех значений x, а на промежутке (0;a) нет целых чисел.

Если a>1, то (a-1)>0.

Неравенство (1) примет вид (x-a)\ (x-5) <0.

а) При 1<a\leq5 целых корней на промежутке (a;5) не больше 3.

б) Если a>5, то x \in (5;a) и 4 целых корня будет при a \in (9;10], так как в промежуток (5;a) должный войти целые числа 6, 7, 8 и 9, а 10 войти не должно.

Ответ

(9;10]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены