Задание №224

Условие

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

\begin{cases}\log_{2}(x-y+1)=0, \\a(x^{2}+y^{2}-10y+25)^{2}-(2a^{2}+a+5)(x^{2}+y^{2}-10y+25)+10a+5=0 \end{cases}

имеет не более одного решения.

Показать решение

Решение

Преобразуем первое уравнение.

x-y+1=1, \: x-y=0, \: y=x, при этом x-y+1> 0.

Второе уравнение при замене t=x^{2}+y^{2}-10y+25 примет вид

at^{2}-(2a^{2}+a+5)t+10a+5=0.

При a=0 получим -5t+5=0, \: t=1,

\begin{cases}y=x,\\x^{2}+y^{2}-10y+25=1, \end{cases}

\begin{cases}y=x,\\2x^{2}-10x+24=0; \end{cases} \:

Решений нет.

При a \neq0 получим t^{2}-\left ( \frac{2a^{2}+a+5}{a}\right)t +\frac{10a+5}{a}=0,

t^{2}-\left ( 2a+1+\frac{5}{a} \right )t+\frac{(2a+1) \cdot5}{a}=0.

По теореме, обратной теореме Виета из системы

\begin{cases} t_{1}+t_{2}=2a+1+\frac{5}{a},\\\\ t_{1}t_{2}=(2a+1) \cdot \frac{5}{a};\end{cases}

получим t_{1}=2a+1, \:t_{2}=\frac{5}{a}.

Вернемся к x и y.

\begin{cases}y=x,\\x^{2}+(y-5)^{2}=t; \end{cases}

где t=t_{1} или t=t_{2}.

Указанная система равносильна системе

\begin{cases} y=x,\\x^{2}+(x-5)^{2}=t; \end{cases} \:

\begin{cases} y=x,\\2x^{2}-10x+(25-t)=0, \end{cases} \:

где t=t_{1} или t=t_{2}.

Согласно условию задачи, надо выбрать такие значения t, чтобы квадратное уравнение имело не более одного решения. Для этого дискриминант D_{t} квадратного уравнения должен удовлетворять условию D_t \leq0.

Так как D_{t}=8t-100, то t \leq\frac{25}{2}.

Учитывая, что t имеет два значения t1 и t2, получаем, что искомые значения a будут решениями одной из систем:

1) \begin{cases} t_{1}< \frac{25}{2},\\ \\t_{2}< \frac{25}{2};\end{cases} \enspace 2) \begin{cases} t_{1}< \frac{25}{2},\\ \\t_{2} \leq \frac{25}{2};\end{cases} \enspace 3) \begin{cases} t_{1} \leq \frac{25}{2},\\ \\t_{2}< \frac{25}{2}.\end{cases}

\begin{cases} 2a+1< \frac{25}{2},\\\\\frac{5}{a}< \frac{25}{2};\end{cases}\enspace \begin{cases} 2a< \frac{23}{2},\\\\\frac{1}{a}-\frac{5}{2}< 0;\end{cases}\enspace \begin{cases} a< \frac{23}{4},\\\\\frac{2-5a}{2a}< 0;\end{cases}\enspace \begin{cases} a< \frac{23}{4},\\\\a<0, \: a> \frac{2}{5};\end{cases}

a< 0 или \frac{2}{5}< a < \frac{23}{4}.

Решения системы 2) добавят к множеству решений системы 1) a=\frac{2}{5}. Решения системы 3) добавят к решению системы 1) еще a=\frac{23}{4}. Таким образом, искомые значения a образуют множество (-\infty ; 0)\cup \left [\frac{2}{5}; \frac{23}{4} \right ].

Ответ

 (-\infty ; 0)\cup \left [\frac{2}{5}; \frac{23}{4}  \right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены