Задание №226

Условие

а) Решите уравнение 16 \cdot 5^{\cos x} -6 \cdot 10^{\cos x}=20^{cos x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{11\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right ].

Показать решение

Решение

а) Разделим обе части уравнения на 20^{\cos x} > 0 и получим уравнение 16 \cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{\cos x}-6 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\cos x}-1=0. Пусть \left ( \frac{1}{2} \right )^{\cos x}=t, где t > 0. Квадратное уравнение 16t^{2}-6t-1=0 имеет корни t_{1}=-\frac{1}{8} (не удовлетворяет условию t > 0) и t_{2}=\frac{1}{2}. Из уравнения \left ( \frac{1}{2} \right )^{\cos x}=\frac{1}{2} получаем \cos x=1; \: x=2\pi n, \: n \in \mathbb{Z}.

б) Найдем корни в промежутке \left [ -\frac{11\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right ]. -\frac{11\pi}{2} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}, -\frac{11}{4} \leq n \leq \frac{3}{4}. Отсюда находим n_{1}=-2 и x_{1}=-4\pi; \: n_{2}=-1 и x_{2}=-2\pi; \: n_{3}=0 и x_{3}=0.

Ответ

а) 2\pi n, \: n \in \mathbb{Z}; б) -4\pi; \: -2\pi; \: 0

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены