Задание №227

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная четырехугольная призма.

а) Докажите, что плоскость BB_1D_1 \perp AD_1C.

б) Зная AB = 5 и AA_1 = 6 найдите расстояние от точки B_1 до плоскости AD_1C.

Показать решение

Решение

а) Так как данная призма правильная, то BB_1 \perp ABCD, отсюда BB_1 \perp AC. Поскольку ABCD — квадрат, то AC \perp BD. Таким образом, AC \perp BD и AC \perp BB_1. Так как прямые BD и BB_1 пересекаются, то, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC \perp BB_1D_1D. Теперь по признаку перпендикулярности плоскостей AD_1C \perp BB_1D_1.

Правильная четырехугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1

б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD. Плоскости AD_1C и BB_1D_1 пересекаются по прямой OD_1. Пусть B_1H — перпендикуляр, проведенный в плоскости BB_1D_1 к прямой OD_1. Тогда B_1H \perp AD_1C. Пусть E=OD_1 \cap BB_1. Для подобных треугольников D_1B_1E и OBE (равенство соответствующих углов следует из условия BO \parallel B_1D_1) имеем \frac {B_1E}{BE}=\frac{B_1D_1}{BO}=\frac{2}1.

Значит, B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Так как B_1D_1=5\sqrt{2}, то гипотенуза D_1E= \sqrt{B_1E^{2}+B_1D_1^{2}}= \sqrt{12^{2}+(5\sqrt{2})^{2}}= \sqrt{194}. Далее применяем метод площадей в треугольнике D_1B_1E для вычисления высоты B_1H, опущенной на гипотенузу D_1E:

S_{D_1B_1E}=\frac1{2}B_1E \cdot B_1D_1=\frac1{2}D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt{2}=\sqrt{194} \cdot B_1H;

B_1H=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{194}}=\frac{60}{\sqrt{97}}=\frac{60\sqrt{97}}{97}.

Ответ

\frac{60\sqrt{97}}{97}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены