Задание №233

Условие

а) Решите уравнение \sin^{2}x+\sin2x=1;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \left [ -\pi; \frac{\pi}{2}\right ].

Показать решение

Решение

а) Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного аргумента, получим уравнение, левую часть которого разложим на множители \cos x(2 \sin x-\cos x)=0. Получим два уравнения:

1) \cos x=0, откуда x=\frac{\pi}{2}+\pi n, где n \in \mathbb{Z};

2) 2 \sin x- \cos x=0, которое равносильно уравнению tg x= \frac{1}{2}, тогда x=arctg \frac{1}{2}+\pi k, где k \in \mathbb{Z}.

б) На схеме изображена числовая окружность, на которой выделена дуга от -\pi до \frac{\pi}{2}. Промежутку \left [ -\pi; \frac{\pi}{2} \right ] принадлежат четыре корня, x_{1}=arctg \frac{1}{2}-\pi,  \: x_{2}=-\frac{\pi}{2},  \: x_{3}=arctg \frac{1}{2},  \: x_{4}=\frac{\pi}{2}.

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Ответ

а) \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}; \: arctg \frac{1}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}

б) arctg \frac{1}{2}-\pi,\:-\frac{\pi}{2}, \: arctg \frac{1}{2}, \:\frac{\pi}{2}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены