Задание №238

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение:

\begin{cases} (\left | x \right |-4)^{2}+(y-3)^{2}=2, \\ y=\left | x-1\right |+a.\end{cases}

Показать решение

Решение

Если x \geq 0, то уравнение (\left | x \right |-4)^{2}+(y-3)^{2}=2 задает окружность с центром C_{2}(4;3) радиусом \sqrt{2}. Если x < 0, то это уравнение задает окружность с центром C_{1}(-4;3) радиусом \sqrt{2}.

Второе уравнение y=\left | x-1\right |+a системы задает прямой угол с переменной вершиной (1;a), находящейся на прямой x=1.

Две окружности на координатной плоскости

Графики этих уравнений имеют единственную общую точку тогда, когда одна сторона прямого угла касается одной из окружностей, а вторая сторона этого угла не имеет с окружностями общей точки. Это произойдет в двух случаях.

По рисунку видим, что при этом a=2 или a=-4. Проверим, что при этих значениях действительно прямая касается окружности.

1) a=2, тогда прямая y=x+1 и окружность (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=2 имеют одну общую точку, потому что соответствующая им система уравнений

\begin{cases} (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=2, \\ y=x+1\end{cases} имеет единственное решение (3;4).

2) a=-4, тогда прямая y=-x-3 и окружность (x+4)^{2}+(y-3)^{2}=2 имеют одну общую точку, потому что соответствующая им система уравнений \begin{cases}(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=2, \\ y=-x-3 \end{cases} имеет единственное решение (-5;2).

Ответ

(-4;2)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены