Задание №325

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(\omega)=\frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}, где

\omega — частота вынуждающей силы (в с−1);

A_0 — постоянное положительное значение;

\omega_p=420 с−1 — резонансная частота.

Найдите максимальную частоту \omega, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A_0 не более, чем на \frac{1}{24} от A_0. Ответ выразите в c−1.

Показать решение

Решение

По условию искомая частота \omega<420, поэтому 420^2-\omega^2>0,\; |420^2-\omega^2|=420^2-\omega^2.

Кроме того, согласно условию,

\frac{A_0\cdot420^2}{420^2-\omega^2}-A_0\leq\frac{1}{24}A_0.

Так как A_0>0, то получаем неравенство

\frac{420^2}{420^2-\omega^2}-1\leq\frac{1}{24},

\frac{420^2}{420^2-\omega^2}\leq1+\frac{1}{24}=\frac{25}{24}.

Отсюда, 420^2\cdot24\leq420^2\cdot25-\omega^2\cdot25,

420^2\cdot25-420^2\cdot24\geq\omega^2\cdot25,

420^2(25-24)\geq\omega^2\cdot25,

420^2\geq\omega^2\cdot25,

\omega^2\leq\frac{420^2}{5^2}=\left (\frac{420}{5} \right )^2,

\omega\leq84.

Максимальное значение \omega=84.

Ответ

84
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены