Задание №958

Условие

а) Решите уравнение 3\sqrt{3}\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-3=2\sin^2 x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi;3\pi].

Показать решение

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде 2\sin^2 x-3\sqrt{3}\sin x+3=0.

Решая это уравнение как квадратное относительно \sin x, получим

(\sin x)_{1,2}= \frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{27-24}}{4}= \frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}.

Значит, (\sin x)_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, откуда x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z} или x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}.

Уравнение (\sin x)_{2}=\sqrt{3} корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [2\pi; 3\pi].

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Получим числа:

2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3};

3\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}.

Ответ

а) \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}, \frac{2\pi}{3}+2\pi m, m \in \mathbb{Z};

б) \frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены