Задание №963

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \sqrt{3^{2x}-5a}=3^x -a имеет единственный корень.

Показать решение

Решение

Пусть 3^x=t,  t > 0,  \sqrt{t^2-5a}=t-a.

При t-a < 0 правая часть уравнения отрицательная, а левая — неотрицательная, поэтому уравнение при t < a решений не имеет.

При t-a \geq 0 получаем t^2-5a=t^2-2at+a^2, 2at=a^2+5a.

При a=0\; 2 \cdot 0 \cdot t =0 — любое положительное значение t является корнем уравнения, что противоречит условию единственности корня.

При a \neq 0\; t=\frac{a+5}{2}. Для этого корня должны выполняться условия t \geq a и t > 0.

Условие \frac{a+5}{2} \geq a выполняется при a \leq 5.

Условие \frac{a+5}{2} > 0 выполняется при a > -5.

Исходное уравнение имеет единственный корень при -5 < a < 0 и 0 < a \leq5.

Ответ

(-5;0)\cup (0;5] 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены