Задание №967

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Показать решение

Решение

\frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Обозначим 3^{x}=t,\, t > 0. Неравенство примет вид:

\frac{t^{2}+2t+2}{t^{2}+2t} \leq 4 +\frac{1}{t}-\frac{3t+1}{t-1},

1+\frac{2}{t(t+2)}-4-\frac{1}{t}+\frac{3t+1}{t-1} \leq 0,

\frac{3(t+3)t}{t(t-1)(t+2)} \leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 < 0, то есть 0 < t < 1. Тогда 0 < 3^{x} < 1, x < 0.

Ответ

(-\infty ; 0)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены