Задание №973

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin 2x}{\cos \left ( x+\dfrac{\pi}{2} \right )}=\sqrt{3}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{5 \pi}{2};4\pi \right ).

Показать решение

Решение

а) Применим формулу синуса двойного аргумента \sin 2x=2\sin x \cos x и формулу приведения \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x.

Уравнение примет вид \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x}=\sqrt{3}.

Учитывая, что \sin x \neq 0, x \neq \pi k, k \in \mathbb Z, получим:

2 \cos x=-\sqrt{3},

\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},

x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{5 \pi}{2};4\pi \right ), с помощью числовой окружности.

Корни отрезка на тригонометрической окружности

x=2\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{17\pi}{6},

x=4\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}.

Ответ

а) \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{6}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены