Задание №974

Условие

а) Решите уравнение 8\sin x+4\cos^{2}x=7.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \left [ -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right ].

Показать решение

Решение

а) 8\sin x+4\cos^{2}x=7,

4(1-\sin^{2}x)+8\sin x -7 =0,

-4\sin^{2}x+8\sin x-3=0,

4\sin^{2}x-8\sin x+3=0.

Пусть \sin x=t, |t| \leq 1, уравнение примет вид 4t^{2}-8t+3=0,

решим его: t_{1,2}= \frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{8}= \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8}= \frac{8 \pm 4}{8}= 1 \pm \frac{1}{2}.

t_{1}=\frac{1}{2} или t_{2}=\frac{3}{2}. t_{2} не удовлетворяет условию |t| \leq 1.

\sin x=\frac{1}{2}, x=(-1)^{n} \frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Найдём корни уравнения на отрезке \left [ -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right ]

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Это число \frac{5 \pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}.

Ответ

а) (-1)^{n} \frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) -\frac{7\pi}{6}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены