Задание №976

Условие

а) Решите уравнение \frac{\cos 2 \pi x}{1+ctg \pi x}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -2\frac{3}{7}; 1,5 \right ].

Показать решение

Решение

а) Данное уравнение равносильно системе \begin{cases} \cos 2\pi x=0,\\1+ctg \pi x \neq0.\end{cases}

\begin{cases}2 \pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ ctg \pi x \neq -1;  \end{cases}

\begin{cases} x=\frac{1}{4}+\frac{n}{2}, n \in \mathbb Z \\ ctg \pi x \neq -1.\end{cases}

Если n=2m, то x=\frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z и ctg \pi x= ctg \left (  \pi \left (  \frac{1}{4}+m\right ) \right )= ctg \left (  \frac{\pi}{4} + \pi m\right )= ctg \frac{\pi}{4}=1.

Значит, числа \frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z являются решениями исходного уравнения. Если n=2m-1, то x=\frac{1}{4}+\frac{2m-1}{2}=-\frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z и ctg \pi x=  ctg \left (  \pi \cdot \left ( -\frac{1}{4}+m \right )\right )= ctg \left (  -\frac{\pi}{4}+ \pi m\right )= ctg \left (  -\frac{\pi}{4}\right )=1.

Следовательно, ни одно из чисел -\frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z не входит в в область допустимых значений переменной исходного уравнения.

Множество решений данного уравнения состоит из чисел \frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни в промежутке \left [ -2\frac{3}{7}; 1,5  \right ].

-2\frac{3}{7} \leq \frac{1}{4}+m \leq 1,5;\,m \in \mathbb Z.

-2\frac{19}{28} \leq m \leq 1\frac{1}{4},\,m \in \mathbb Z. Отсюда находим m_{1}=-2 и x_{1}=-\frac{7}{4}; m_{2}=-1 и x_{2}=-\frac{3}{4}; m_{3}=0 и x_{3}=\frac{1}{4}; m_{4}=1 и x_{4}=\frac{5}{4}.

Ответ

а) \frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z;

б) -\frac{7}{4};\,-\frac{3}{4};\,\frac{1}{4};\,\frac{5}{4}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены