Задание №977

Условие

а) Решите уравнение \sin x(2 \sin x -1)+\sqrt{3} \sin x+\sin \frac{4 \pi}{3}=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{\pi}{2}; \pi \right )

Показать решение

Решение

а) Решим уравнение \sin x(2 \sin x -1)+\sqrt{3} \sin x+\sin \frac{4 \pi}{3}=0

Так как \sin \frac{4 \pi}{3}= \sin \left ( \pi + \frac{\pi}{3} \right )= -\sin \frac{\pi}{3}= -\frac{\sqrt{3}}{2}, то уравнение примет вид \sin x(2 \sin x-1)+\sqrt{3} \sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0. Отсюда 2 \sin x\left ( \sin x-\frac{1}{2}\right )+\sqrt{3}\left ( \sin x-\frac{1}{2}\right )= 0; (2\sin x+\sqrt{3})\left (\sin x-\frac{1}{2} \right )=0.

Тогда \sin x=\frac{1}{2}; x=(-1)^{n} \frac{\pi}{6}+ \pi n или \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+ \pi n, где n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{\pi}{2}; \pi \right ), найдем с помощью числовой окружностью: -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}

Корни промежутка на тригонометрической окружности

Ответ

а) (-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n; (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены