Задание №978

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin x +1}{1-\cos 2x}=\frac{\sin x +1}{1+ \cos \left ( \dfrac{\pi}{2}+x \right )}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [-\frac{3 \pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ].

Показать решение

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq 1, \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right ) \neq -1.

Учитывая, что 1- \cos 2x=2 \sin^{2}x и \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x, получим уравнение

\frac{\sin x +1}{2 \sin^{2}x}-\frac{\sin x +1}{1 - \sin x}=0,

(\sin x +1) \left ( \frac{1}{2 \sin^{2}x}-\frac{1}{1-\sin x}\right )=0.

На ОДЗ уравнение примет вид (\sin x+1)(1-\sin x-2\sin^{2}x)=0,

(\sin x+1)(2 \sin^{2}x+\sin x-1)=0.

Решим уравнение 2\sin^{2}x+\sin x-1=0 как квадратное относительно \sin x.

\sin x=-1, \sin x=\frac{1}{2}, тогда (\sin x +1)^{2} \left ( \sin x - \frac{1}{2}\right )=0.

1) \sin x=-1, x=-\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb Z.

2) \sin x=\frac{1}{2}, x=\frac{\pi}{6}+2 \pi m, x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, m, n \in \mathbb Z.

Заметим, что корни уравнений \sin x=-1 и \sin x=\frac{1}{2} принадлежат ОДЗ, так как \sin^{2}x \neq 0 и 1-\sin x \neq 0.

б) Решим неравенства:

1) -\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6}+2\pi m \leq -\frac{\pi}{2},

2) -\frac{3\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6}+2\pi n \leq - \frac{\pi}{2},

3) -\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k \leq -\frac{\pi}{2}.

при m, n, k \in \mathbb Z. 

-\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6}+2\pi m \leq -\frac{\pi}{2},

-\frac{3}{2} \leq \frac{1}{6}+2\pi m \leq -\frac{1}{2},

-\frac{5}{3} \leq 2m \leq -\frac{2}{3},

-\frac{5}{6} \leq m \leq -\frac{1}{3}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac{5}{6}; -\frac{1}{3} \right ].

-\frac{3\pi}{2} \leq \frac {5\pi}{6}+2\pi n \leq - \frac{\pi}{2},

-\frac{3}{2} \leq \frac{5}{6}+2n \leq -\frac{1}{2},

-\frac{7}{3} \leq 2n \leq -\frac{4}{3},

-\frac{7}{6} \leq n \leq -\frac{2}{3}.

Единственное целое число, принадлежащее этому промежутку, n=-1. Тогда x=\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}.

-\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k \leq - \frac{\pi}{2},

-\frac{3}{2} \leq -\frac{1}{2} + 2k \leq - \frac{1}{2},

-1 \leq 2k \leq 0,

-\frac{1}{2} \leq k \leq 0.

Этому равенству удовлетворяет k=0, тогда x=-\frac{\pi}{2}.

Ответ

а) -\frac{\pi}{2}+2\pi k; \frac{\pi}{6}+2\pi m; \frac{5\pi}{6}+2\pi n, m, n, k \in \mathbb Z;

б) -\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены