Задание №979

Условие

а) Решите уравнение 2\cos^2 x-5 \sin\left ( x+\frac{3\pi}{2} \right )+2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right ].

Показать решение

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения

\cos \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )=-\sin x:

2\cos^2 x+5\cos x+2=0.

Обозначим \cos x=t, -1 \leq t \leq 1, получим 2t^2+5t+2=0.

t_{1}=\frac{-5-3}{2 \cdot 2}=-2 — не удовлетворяет условию -1 \leq t \leq 1.

t_{2}=\frac{-5+3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}.

Вернёмся к исходной переменной:

\cos x=-\frac{1}{2},

x=\pm \left ( \pi - \frac{\pi}{3}\right )+2\pi n, n \in \mathbb Z,

x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right ], найдём с помощью единичной окружности.

Корни промежутка на тригонометрической окружности

Получаем числа \frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}.

Ответ

а) \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Татьяна Гуркова / 

Почему в решении вы преобразовываете cos(x+ п/2), а не sin(х+3п/2)?