Задание №984

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все рёбра которой равны.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания перпендикулярно грани SCD.

б) Найдите площадь этого сечения, если каждое ребро данной пирамиды равно 5.

Показать решение

Решение

а) Пусть K — середина ребра SC. Так как треугольники SDC и SBC равносторонние, то SC \perp DK и SC \perp BK (медиана равностороннего треугольника является его высотой). Значит, прямая SC перпендикулярна плоскости DKB. Так как SC \perp DKB и SC \subset CSD, то плоскость DBK перпендикулярна плоскости CSD. Треугольник DKB — искомое сечение.

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD с равными ребрами и сечением

б) Найдём площадь сечения. Высоты DK и BK в равносторонних треугольниках равны \frac{5\sqrt{3}}{2}. Диагональ BD квадрата ABCD равна 5\sqrt{2}. В равнобедренном треугольнике DKB высота OK=\sqrt{\left ( \frac{5\sqrt{3}}{2}\right )^2-\left ( \frac{5\sqrt{2}}{2}\right )^2}=\frac{5}{2}. Площадь треугольника DKB равна \frac{1}{2}DB \cdot OK=\frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{5}{2}=\frac{25\sqrt{2}}{4}.

Ответ

\frac{25\sqrt{2}}{4}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены