Задание №988

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{4 \cdot 5^{x}-17}{5^{x}-4}+\frac{10 \cdot 5^{x}-13}{2 \cdot 5^{x}-3} > \frac{8 \cdot 5^{x}-30}{2 \cdot 5^{x}-7}+\frac{5^{x+1}-4}{5^{x}-1}.

Показать решение

Решение

С помощью замены 5^{x}=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac{4t-17}{t-4}+\frac{10t-13}{2t-3} > \frac{8t-30}{2t-7}+\frac{5t-4}{t-1}.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

4-\frac{1}{t-4}+5+\frac{2}{2t-3} > 4-\frac{2}{2t-7}+5+\frac{1}{t-1},

\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-4}+\frac{2}{2t-7}-\frac{1}{t-1} > 0.

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

\frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(2t-7)(t-1)} < 0.

Решим неравенство методом интервалов

Метод интервалов

С учётом условия t > 0, получим

0 < t < 1,  \frac{3}{2} < t < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < t < 4.

Возвращаясь к переменной x, получим, что 5^{x} < 1,  \frac{3}{2} < 5^{x} < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < 5^{x} < 4 откуда x < 0,  \log_{5}\frac{3}{2} < x < \log_{5}\frac{5}{2},  \log_{5}\frac{7}{2} < x < \log_{5}4.

Ответ

(-\infty ;0)\, \cup \left (  \log_{5}\frac{3}{2}; \log_{5}\frac{5}{2}\right )\,\cup \left (  \log_{5}\frac{7}{2}; \log_{5}4\right ) 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены