Вариант №10

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Дмитрия Евгеньевича равна 22 800 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На рисунке изображено изменение температуры воздуха с 14 по 30 января. Определите по графику разность между наибольшим и наименьшим значениями температуры воздуха за этот период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

График изменения температуры воздуха с 14 по 30 января

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на координатной плоскости, точки, векторы

Условие

Найдите площадь треугольника, изображенного на координатной плоскости, с вершинами (1; 4), (4; 10), (6; 4).

Треугольник на координатной плоскости

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На экзамене по литературе ученику случайным образом достается один вопрос из списка. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Проза XIX века», равна 0,28. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Проза XX века», равна 0,15. В списке вопросов нет таких, в которых содержатся сразу две темы. Найдите вероятность того, что ученику попадется вопрос с одной из этих двух тем.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_42^{2x+5}=4.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Прямоугольный треугольник

Условие

Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{\circ}, AC = 5, \cos A = \frac45. Найдите высоту CH.

Треугольник ABC

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6; 6). Найдите количество решений уравнения f'(x) на отрезке [−3,5; 4,5].

График дифференцируемой функции y=f(x)

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Пирамида

Условие

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Буквенные иррациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения \frac{\sqrt k}{\sqrt[24]{k}\cdot\sqrt[8]{k}} при k = 343.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Тригонометрические уравнения

Условие

Небольшой мяч бросили к горизонту с начальной скоростью 26 м/с под углом \alpha. Максимальную высоту полёта мяча H можно найти по формуле:

H=\frac{v_{0}^{2}}{4g}\cdot (1-\cos{2\alpha }), при этом:

H – максимальная высота (м);

v0 – начальная скорость мяча (м/с);

g = 10 м/с2 – ускорение свободного падения;

\alpha – угол между вектором броска и поверхностью земли.

Найдите значение угла \alpha, под которым был брошен мяч, если известно, что при максимальной высоте полета мяч находился над препятствием высотой 7,45 на расстоянии 1 м. Ответ укажите в градусах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Из городов A и B, расстояние между которыми 270 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Они встретились спустя 2,5 часа после начала движения на расстоянии 140 км от города A. С какой скоростью двигался автобус, выехавший из города B. Ответ дайте к км/час.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=\ln(x+5)^4 на отрезке [−4,5; 0].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2\sin x+|\cos x|-3\cos x=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\pi;\frac{5\pi}{2}\right ].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

В правильном тетраэдре SABC на ребре AC взята точка F так, что AF:FC=2:1.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, F и высоту грани BSC, проведенную к ребру SC.

б) Найдите расстояние от точки F до плоскости BSC, если ребро тетраэдра равно 12.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \log_{3}\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{1+\log_{3}9x}\geq 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Основание CD трапеции ABCD перпендикулярно ее боковой стороне BC. Через точки A и D провели окружность, которая касается прямой BC в точке M.

а) Докажите подобие \bigtriangleup ABF и \bigtriangleup FBK при условии, что F — точка пересечения прямых BC и AD, а BK — высота \bigtriangleup ABF.

б) При условии CD=4 см и AB=5 см, вычислите расстояние от точки M до прямой AD.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Петр Игнатьевич положил в банк 96 000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5% годовых, то 10% годовых. За последний год начислили 25%. Проценты начислялись и добавлялись к сумме вклада в конце каждого года. В итоге, вклад Петра Игнатьевича составил 160 083 рублей. Сколько лет в банке пролежал его вклад?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

\begin{cases}\log_{2}(x-y+1)=0, \\a(x^{2}+y^{2}-10y+25)^{2}-(2a^{2}+a+5)(x^{2}+y^{2}-10y+25)+10a+5=0 \end{cases}

имеет не более одного решения.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

Психологами был создан тест, пройдя который можно получить показатель умственных способностей человека. После прохождения теста испытуемый получает оценку — положительное целое однозначное число Q (чем больше умственных способностей, тем выше Q). Рейтингом группы людей является среднее арифметическое значений показателей всех участников, которые входят в данную группу.

а) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Если в обеих группах изначально было по 3 человека, то мог ли повыситься рейтинг у обеих групп после перехода участников?

б) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Затем из группы Б несколько участников перешли в группу А (в числе которых могли быть и бывшие люди из группы А). Может ли быть так, что рейтинги двух групп выросли и в первый, и во второй раз, если первоначально в каждой группе было по 10 человек.

в) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. На какую наибольшую величину мог повыситься рейтинг группы А, если также и у группы Б повысился рейтинг при условии, что изначально в обеих группах было по 10 человек.