Вариант №4

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

Сергей живет в доме, в котором один подъезд и на каждом этаже по 4 квартиры. На каком этаже живет Сергей, если номер его квартиры 19

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На графике изображено изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указаны день и время, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Используя график определите, разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 14 ноября. Ответ дайте в градусах Цельсия.

График - изменение температуры воздуха на протяжении трех суток

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой решетке с клетками размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

Треугольник на клетчатой решетке 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Саша, Сережа, Петя и Женя бросили жребий – кому нести сумку. Найдите вероятность того, что сумку нести будет не Сережа.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Квадратные, кубические и линейные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: (6x-13)^2=(6x-11)^2

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 84. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписанный в окружность

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графикуНа рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Параллелепипед

Условие

Параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 имеет объем, равный 4,8 м3. Определите объем треугольной пирамиды, которая образована вершинами ACB_1D_1

Параллелепипед с треугольной пирамидой

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Тригонометрические выражения

Условие

Найдите tg\beta, если \cos\beta=-\frac{4\sqrt{17}}{17} и \beta\in\left (\pi; \frac{3\pi}{2} \right ).

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Показательные уравнения

Условие

Газ, наполняющий герметичный сосуд с поршнем и находящийся под давлением 1 атмосферы, резко сжимают. При этом происходит адиабатическое сжатие газа и его давление становится равным 128 атмосферам. Закон адиабатического процесса имеет вид:

p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}, где:

p1 – давление газа в начальном состоянии (атм);

V1 – объем газа в начальном состоянии (л)

p2 – давление газа в конечном состоянии (атм);

V2 – объем газа в конечном состоянии (л).

Определите объем газа после сжатия, если его начальный объем был 294,4л. Ответ укажите в литрах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Радиоактивный распад подчиняется закону:

N=N_{0}\cdot 2^{-\tfrac{t}{T}}

в формуле которого:

N — число радиоактивных атомов в момент времени t;

N0 — число радиоактивных атомов в начальный момент времени;

t — время, прошедшее с момента начала распада (с);

T — период полураспада (с).

Определите, через какое время после начала распада число радиоактивных атомов будет меньше 5, если период полураспада изотопа T = 2 с, а начальное число атомов N0 = 20. Ответ выразите в секундах.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac{48}{x}+3x+204.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Показательно-тригонометрические уравнения

Условие

а) Решите уравнение 7^{\cos \left(2x-\tfrac{\pi}{2}\right)}=49^{\cos x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2;4].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный шестиугольник. Через сторону этого шестиугольника и середину высоты конуса проведена плоскость \alpha.

а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью \alpha равен 45^{\circ}.

б) Найдите площадь сечения плоскостью \alpha шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен 2.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство \log_{15}(x^2-6x+8)\geqslant \log_{x-1}(x^2-6x+8).

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

В прямоугольной трапеции ABCD c прямым углом А расположены две касающиеся внешним образом окружности. Первая касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон и меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая проходящая через центры указанных окружностей O_1 и O_2, пересекает большее основание AD в точке P.

а) Докажите, что \frac{AP}{PD}=\sin D.

б) Найдте площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \frac{5}{2} и \frac{1}{2}.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В магазин привезли учебные пособия для школьников по трем дисциплинам: русский язык, математика, обществознание, — в отношении 9:8:7 соответственно. За неделю продали 60% завезенных пособий, а количество оставшихся оказалось распределено в отношении 3:1:2 между теми же предметами (в исходном порядке). Сколько процентов учебных пособий по математике было продано?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система имеет ровно 2 решения?

\begin{cases}\sqrt{(x-y)^2} \geqslant x+y, \\ (x-a^2)^2+(y-6a+8)^2=16^{a-1}.\end{cases}

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Для каждого натурального числа введем число n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n (например 1!=1, 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120). Определите наибольшее возможное значение в каждом из следующих случаев.

а) n! имеет не более 3 различных простых делителей (простыми называются те натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу, исключая само число 1).

б) n! не делится на 512.

в) \log_7\left(\frac{(n!)^2}{4}-90n!+3201\right) определено и не превосходит 4.