Вариант №6

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Одна таблетка лекарства содержит 12% активного вещества и весит 30 мг. Врач прописывает заболевшему ребенку ежедневно принимать по 1,35 мг активного вещества лекарства на каждый килограмм веса. Сколько таблеток в день необходимо давать ребенку весом 8 кг.

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На рисунке изображены показатели среднесуточной влажности воздуха в Екатеринбурге с 10 по 18 февраля 2016 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — влажность воздуха в процентах. Для наглядности точки соединены линиями. Используя график определите наименьшую среднесуточную влажность в процентах за указанный период.

График - среднесуточная влажность воздуха в Екатеринбурге с 10 по 18 февраля 2016 года

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на координатной плоскости, точки, векторы

Условие

Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плоскости.

Трапеция на координатной плоскости

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то вероятность того, что он попадет равна 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из которых только 2 пристрелянные. Ковбой Джон берет первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Показательные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: 2^{1-3x}=128

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O. Прямые AC и BD являются диаметрами окружности. Угол ACB равен 21^{\circ}. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и прямыми

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро равно 12, а площадь основания равна 10. Найдите объем многогранника DEFD_1E_1F_1.

Правильная шестиугольная призма

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Алгебраические выражения

Условие

Найдите значение выражения \frac{(7x+5y)^2-49x^2-25y^2}{10xy}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Квадратные уравнения

Условие

Одним из знаменитейших мостов в мире считается мост «Золотые Ворота» в Сан-Франциско. Вы и сами наверняка видели его в американских фильмах. Сконструирован он следующим образом: между двумя огромными пилонами, установленными на берегу, протянуты основные несущие цепи, к которым, перпендикулярно земле, вертикально подвешиваются балки. К этим балкам, в свою очередь, крепится полотно моста. При большой протяженности моста применяются дополнительные опоры. В этом случае висячий мост состоит из «сегментов».

мост «Золотые Ворота» в Сан-Франциско

На рисунке изображена схема одного из сегментов моста. Обозначим начало координат в точке установки пилона, ось Ox направим по полотну моста, а Oy – вертикально вдоль пилона. Расстояние от пилона до балок и между балками составляет 100 метров.

Определите длину ближайшей к пилону балки, если форма цепи моста определяется уравнением:

y=0,0061\cdot x^2-0,854\cdot x+33

в котором x и y – величины, которые измеряются в метрах. Ответ выразите числом в метрах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Оля и Витя начали одновременно решать одинаковый тест. За один час Оля успевает решать 12 вопросов, а Витя 21 вопрос. Оля закончила решать тест на 105 минут позже Вити. Определите количество вопросов в тесте.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=11+24x-2x\sqrt{x} на отрезке [63; 65].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 4-\cos ^{2}2x=3\sin^{2}2x+2\sin 4x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0;1].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Объем тела

Условие

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с диагональю основания BD и вершиной S, боковое ребро образует угол 45^{\circ} с основанием, при этом, сторона основания равна 4.

Плоскость \alpha проведена через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую середину высоты пирамиды и BD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью \alpha и докажите, что ребро SC и плоскость \alpha перпендикулярны.

б) K, L, M — точки пересечения ребер SC, SD, SB с плоскостью \alpha. Найдите объем пирамиды SKLM.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство \log_{5-x} (x+5) \cdot \log_{x+4}(4-x) \leq 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Две произвольные окружности, касающиеся друг друга, вписаны в заданный угол, величиной \alpha, не превосходящей \pi.

а) Докажите, что отношение модуля разности радиусов к сумме радиусов этих окружностей является постоянной величиной.

б) Найдите радиус меньшей окружности, если угол \alpha=\frac{\pi}{3} и радиус большей окружности равен 10.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В первом отделении банка 45% от общего числа клиентов составляют бюджетные организации и 55% частные клиенты, во втором отделении 10% составляют корпоративные клиенты, 40% бюджетные организации и 50% частные клиенты, в третьем отделении 30% корпоративные клиенты, 70% частные клиенты. После объединения трех отделений корпоративные клиенты составляют 15%. Найдите промежуток, в пределах которого может находиться процент частных клиентов.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Функции с параметром

Условие

При каких значениях параметра a область определения функции

y=\log_{\tfrac{1}{4}} (\sqrt{x}\log_{a}5-\sqrt{a}\log_{a}5-x^{\tfrac{1}{2}+\log_{x}(\log_{a}x)}+\sqrt{a}\log_{a}x)

содержит ровно 4 целых числа?

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

На заводе производятся шесть видов кресел для детской карусели. Карусель рассчитана на 5 кресел, которые нужно установить. Как много способов установки можно применить в каждом из ниже перечисленных случаев, если способы, получающиеся друг из друга поворотом, считать одинаковыми?

а) Все кресла различные.

б) Кресла представлены 4 видами.

в) Не более 2 кресел каждого вида.