Вариант №7

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

В школе немецкий язык изучают 94 учащихся, что составляет 25% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме изображена среднемесячная температура воздуха в Перми за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Используя диаграмму определите номер месяца, в котором среднемесячная температура была самой высокой.

Диаграмма - среднемесячная температура воздуха в Перми за 2000 год

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на координатной плоскости, точки, векторы

Условие

Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плоскости, с вершинами (1; 1), (10; 1), (7; 8), (2; 8).

Трапеция на координатной плоскости

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 28 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Показательные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: 2^{2-3x}=32

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Вписанная окружность

Условие

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Стороны AB = 7, BC = 5, CD = 20. Найдите четвертую сторону четырехугольника AD.

Окружность вписанная в четырехугольник

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y = −6x + 7 является касательной к графику функции y = ax2 − 2x + 8. Найдите параметр а.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Конус

Условие

Конус имеет высоту равную 15 и образующую длинной 17. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Конус с осевым сечением

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Логарифмические выражения

Условие

Найдите значение выражения (\log_5 125)\cdot\log_7 49.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Скалолаз видит горизонт на расстоянии 16 км от себя. Расстояние от наблюдателя, который находится на высоте h м над уровнем моря, до видимой им линии горизонта определяется по формуле:

l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}, где:

l – расстояние от наблюдателя до видимой им линии горизонта (км);

R – радиус Земли (6400 км);

h – высота наблюдателя над уровнем моря (м)

Найдите, на сколько метров необходимо подняться скалолазу, чтобы дальность видимости составляла 28 км.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

В финальном заезде гонки участвовали два гонщика. Заезд проводился на кольцевой трассе, имеющей протяженность 6 км. Гонщикам было необходимо проехать 68 кругов. В результате первый гонщик пришел на финиш раньше второго на 15 минут. Найдите среднюю скорость второго гонщика, если известно, что он отстал от первого ровно на круг через 60 минут после начала гонки, а стартовали они одновременно. Ответ выразите в км/ч. 

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=x^5-5x^3-20x на отрезке [−3; 1].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \frac{|\sin x|}{\sin x}+2=2\cos x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-1;8].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Угол между плоскостями

Условие

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1, ребро которого равно 4, точка M является серединой отрезка BC_1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую AM, параллельно прямой A_1B.

б) Найдите расстояние между прямыми A_1B и AM.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{\dfrac{3}{2x+1}+\log_2\dfrac{x+2}{4}}{\sqrt{-x}}>0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Высоты BQ и AH проведены из вершин A и B тупоугольного треугольника ABC. BH=BQ; \: BH:BC=1:3; \angle B — тупой.

а) Докажите, что диаметр окружности, описанной вокруг треугольника ABQ в \sqrt{3} раз больше BQ.

б) Площадь треугольника HQC равна 16. Найдите площадь четырехугольника AHBQ.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Бассейн наполняется водой из трех труб. Через первую трубу поступает 20м3 воды в час. Через вторую трубу поступает на 2z м3 воды меньше, чем через первую (0<z<10), а через третью трубу на 10z м3 в час больше чем через первую. Сначала одновременно были включены первая и вторая трубы и они набрали 20% бассейна, а затем работали все три трубы и долили оставшиеся 80% бассейна. Определите, при каком значении z бассейн быстрее всего был наполнен водой указанным способом.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при которых система

\begin{cases} (x-(3a^{2}+1))^{2}+y^{2}=a^{2}(9a^{2}+1),\\y=ax^{3;}\end{cases}

имеет единственное решение.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

В одной из лотерей билеты решили пронумеровать парами натуральных чисел. Но перед началом розыгрышв вдруг неожиданно просочилась информация о стратегиях формирования выигрышных билетов.

(1) Наряду с каждым выигрышным билетом (a;b) билет (b;a) также является выигрышным.

(2) Билет (a;c) будет являться выигрышным если выигрышными окажутся билеты (a;b) и (b;c).

(3) Билет (a\cdot c; b\cdot c) будет выигрышным для любого натурального числа c, если выигрышным будет (a;b).

Один математик узнал о том, что билет (6;9) — выигрышный. Из всех предложенных ему билетов, он купил только приведенные ниже. Докажите, что эти билеты являются выигрышными.

а) (12; 18); (12;27); (24;81).

б) (3\cdot2^k; 3\cdot3^k) для любого натурального k.

в) (3\cdot 2^m\cdot3^n; 3\cdot2^p\cdot3^q), где m,n,p,q \in \mathbb{N},\; m+n = p+q.