Вариант №8

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Купон на скидку стоил 600 рублей. В последний день проведения акции его стоимость снизилась до 480 рублей. На сколько процентов была уменьшена стоимость купона?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На рисунке показано изменение удельной теплоемкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали — удельная теплоемкость в . Определите по рисунку наименьшую возможную удельную теплоемкость раствора на исследуемом диапазоне температур. Ответ дайте в .

График изменения удельной теплоемкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры.

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на координатной плоскости, точки, векторы

Условие

Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плоскости.

Трапеция на координатной плоскости

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Саша, Леша, Рома и Петя бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Саша.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Показательные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: 5^{1-x}=125.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Вписанная окружность

Условие

Окружность вписана в трапецию и имеет радиус 2. Найдите высоту трапеции.

Окружность вписанная в трапецию

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6; 4].

График функции y=f'(x) производной функции f(x)

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Конус

Условие

На рисунке изображен конус, через середину высоты которого параллельно основанию проведено сечение, являющееся основанием малого конуса с той же вершиной. Найдите объем малого конуса, если объем большого равен 32.

Конус с сечением

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Логарифмические выражения

Условие

Найдите значение выражения \log_7 84-\log_7 12.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Линейные уравнения

Условие

Длина рельса железнодорожного пути l0 при температуре 0^{\circ}C составляет 10 м. При повышении температуры рельс удлиняется – возникает эффект термического расширения. Длина подчиняется закону:

l(t^{\circ})=l_0(1+\alpha t^{\circ}), где:

l(t^{\circ}) – длина рельса (м);

l0 – исходная длина рельса (м);

\alpha=1,2\cdot 10^{-5}(^{\circ}C)^{-1} – коэффициент линейного теплового расширения для стали;

t^{\circ} – температура (^{\circ}C).

Определите, какой должна быть температура, чтобы длина рельса увеличилась на 9мм. Укажите ответ в градусах Цельсия.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Первый рабочий обтачивает на токарном станке на 1 заготовку в день меньше, чем второй. При этом известно, что на обработку 420 деталей ему потребуется на 9 дней больше, чем второму на обтачивание 252 деталей. Определите, сколько деталей в день способен обточить второй рабочий.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac23x^{\tfrac32}-5x+24.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение: 0,5 \sin^{2}6x- \sin^{2}\left ( \frac{3\pi}{2}-3x \right )=0.

б) Найдите корни, принадлежащие промежутку \left(0; \frac{\pi}{2} \right).

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Расстояние между прямыми

Условие

Треугольник MNP со сторонами MP=6\sqrt{3} и MN=NP лежит в основании прямой призмы MNPM_{1}N_{1}P_{1}. Точка K выбрана на ребре NN_{1} таким образом, что NK:N_{1}K=3:4. При этом угол между плоскостью MNP и плоскостью MKP составляет 60^{\circ}.

а) Докажите, что расстояние между прямыми MN и M_1P_1 равно боковому ребру призмы.

б) При условии KP=9, вычислите расстояние между прямыми MN и M_{1}P_{1}.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство \frac{1}{2}\log_{x-2}(x^{2}-10x+25)+\log_{5-x}(-x^{2}+7x-10)>3.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Вневписанная окружность с центром O_a и радиусом r_a в прямоугольном \bigtriangleup ABC касается в точке T_a катета BC. А вневписанная окружность с центром O_b касается катета AC в точке T_b.

а) Докажите, что площадь прямоугольного треугольника ABC может быть получена использованием формулы S = r_ar_b.

б) Зная S_{ABC}=30, найдите площадь четырехугольника AT_bT_aB.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Андрей Федорович и Денис Антонович — индивидуальные предприниматели, которые занимаются производством зеркал.

В течение нескольких лет Андрей Федорович изготавливал одно и то же (но не более 210) число зеркал в год.

Денис Антонович за такой же период изготавливал в год 90% от того количества зеркал, которое изготавливал Андрей Федорович.

После модернизации оборудования Денис Антонович стал изготавливать в год на 80% зеркал больше, чем он изготавливал до модернизации, и более чем 244 зеркала.

Каждый предприниматель изготавливает целое число зеркал в год.

Какое количество зеркал в год стал выпускать после модернизации оборудования Денис Антонович?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два решения.

\begin{cases}x^2+y^2=2a,\\ xy=a-\frac{1}{2} .\end{cases}

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Дан набор из n различных натуральных чисел. Известно, что n>7, наименьшее общее кратное всех чисел равно 330 и для любых двух чисел их наибольший общий делитель больше единицы. Сумма всех чисел данного набора равна 755.

а) Принадлежит ли данному набору чисел хотя бы одно из чисел 2 или 3?

б) Принадлежит ли 10 данному набору чисел?

в) Укажите все n чисел данного набора.