Задания по теме «Четырехугольники»

Открытый банк заданий по теме четырехугольники. Задания B3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №861

Тип задания: 3
Тема: Четырехугольники

Условие

Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (-2; 1), (-2; 4), (-6; 1), (-6; 4).

Показать решение

Решение

Диагонали прямоугольника равны. Диагональ AC найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника ADC с катетами AD=4, CD=3:

AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5

Прямоугольник с определенными вершинами на координатной плоскости

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №268

Тип задания: 3
Тема: Четырехугольники

Условие

Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (3; 7), (3; 11), (6; 7), (6; 11).

Показать решение

Решение

У точек (3; 7) и (6; 7) одинаковые ординаты, поэтому длина основания прямоугольника равна 6-3=3. Аналогично, высота прямоугольника равна 11-7=4. Значит, диагональ равна \sqrt{3^2+4^2}=5.

Прямоугольник с вершинами

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №264

Тип задания: 3
Тема: Четырехугольники

Условие

Диагонали AC и BD равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции, если ее высота равна 47.

Равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Показать решение

Решение

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то \triangle AOB = \triangle DOC по стороне и двум прилегающим углам. Тогда \triangle AOD равнобедренный. Так как он еще и прямоугольный, то \angle ADO = 45^{\circ}. Пусть ВН — высота трапеции ABCD. Тогда в прямоугольном \triangle BHD углы при гипотенузе BD равны по 45^{\circ}. Значит, \triangle BHD также равнобедренный, то есть DH=BH=47.

Равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями и высотой

В равнобедренной трапеции DH= BC+AH= BC+\frac{AD-BC}{2}= \frac{2BC+AD-BC}{2}= \frac{BC+AD}{2}. Но DH=47, значит, средняя линия трапеции равна \frac{BC+AD}{2}=47.

Ответ

47
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.