Задания по теме «Числа и их свойства»

Открытый банк заданий по теме числа и их свойства. Задания C7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1027

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Учитель задумал несколько различных целых чисел и выписал набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д. слагаемых) на доске в порядке неубывания. Например, если бы он задумал числа 1,-5,6, то на доске был бы выписан набор -5,-4,1,1,2,6,7.

а) На доске был выписан набор -5,-2,3,4,7,9,12. Какие числа задумал учитель?

б) Для некоторых трех задуманных чисел на доске был выписан набор. Всегда ли по этому набору можно определить задуманные числа?

в) Дополнительно известно, что учитель задумал 4 числа. Все они не равны 0. Какое наибольшее число нулей может быть выписано на доске?

Показать решение

Решение

а) Если учитель задумал 4 числа или больше, тогда на доске должно быть выписано не менее 15 чисел. Если учитель задумал 2 числа или меньше, тогда на доске должно быть выписано не более 3 чисел. Отсюда следует, что было задумано 3 числа. Если бы учитель задумал 2 отрицательных числа, тогда на доске было бы записано не менее трёх отрицательных чисел. Значит в наборе отрицательное число одно и оно является наименьшим, то есть -5. Наибольшим числом из набора будет результат суммы двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 3 и 9 дают в сумме 12. Таким образом, были задуманы числа -5,3,9.

б) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел -5,2,3 и -3,-2,5 на доске будет выписан один и тот же набор -5,-3,-2,0,2,3,5.

в) Если учитель задумал 4 числа (a, b, c, d), то на доске выписано 15 чисел: сами задуманные числа (4 штуки), суммы по 2 слагаемых — 6 штук, суммы по 3 слагаемых — 4 штуки, а также сумма всех чисел. Разобьём выписанные числа на 3 группы.

Группа A — это сами задуманные числа, группа B — это суммы по 2 слагаемых, C — суммы по 3 и 4 слагаемых.

В группе A нет нулей по условию.

Рассмотрим группу B. Пусть сумма каких-то двух чисел равна 0, то есть a+b=0. Если предположить, что a+c=0, то a+b=a+c, b=c, а это противоречит тому, что все задуманные числа различны. Значит, a+c \neq 0. Аналогично a+d \neq 0, b+c \neq 0, b+d \neq 0. Возможно, что c+d=0. Других сумм по 2 слагаемых нет. Значит, в группе B не более двух нулей.

Рассмотрим группу C. Покажем, что в ней не более одного нуля. Предположим противное. Тогда найдется хотя бы два нуля. В этом случае хотя бы один нуль является суммой некоторых трех задуманных чисел, то есть можно считать, что a+b+c=0. Если a+b+c+d=0, то d=0, что противоречит условию. Тогда выполняется хотя бы одно из равенств: a+b+d=0, a+c+d=0, b+c+d=0. В первом случае a+b+c=a+b+d=0, тогда c=d. Во втором случае b=d, в третьем a=d. Значит, все три случая противоречат условию, и наше предположение неверно. Следовательно, в группе C не более одного нуля.

Таким образом, общее число нулей не превышает 0+2+1=3. Приведём пример задуманных чисел, для которых на доске будет выписано ровно 3 нуля. Пусть учитель задумал числа 2,-2,3,-3. Тогда 2+(-2)=0; 3+(-3)=0; 2+(-2)+3+(-3)=0. На доске выписано ровно 3 нуля.

Ответ

а) -5,3,9; б) нет; в) 3.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1025

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Существуют ли такие восемь различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя

а) ровно в шесть раз;

б) ровно в пять раз;

в) ровно в четыре раза?

Показать решение

Решение

а) Да. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 19. Сумма этих чисел равна 48, среднее арифметическое равно 6, наибольший общий делитель равен 1.

б) Да. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11. Сумма этих чисел равна 40, среднее арифметическое равно 5, наибольший общий делитель равен 1.

в) Пусть наибольший общий делитель восьми чисел a_{1} < a_{2} <...< a_{8} равен d. Тогда a_{1} \geq d, a_{2} \geq 2d,..., a_{8} \geq 8d. Следовательно, a_{1}+a_{2}+...+a_{8} \geq 36d, а среднее арифметическое \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{8}}{8} \geq \frac{36}{8}d=4,5d. Значит, среднее арифметическое не может быть больше наибольшего общего делителя ровно в 4 раза.

Ответ

а) да; б) да; в) нет.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1024

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Пусть S(x) — сумма чисел натурального числа x. Решите уравнения:

а) x+S(x)=2015;

б) x+S(x)+S(S(x))=2015;

в) x+S(x)+S(S(x))+S(S(S(x)))= 2015.

Показать решение

Решение

а) Если десятичная запись числа x содержит не более трёх цифр, то сумма этих цифр не превосходит 27. Следовательно, x+S(x) < 2015. Таким образом, x — четырёхзначное число, первая цифра которого равна 1 или 2, то есть 1 \leq S(x) \leq 28, значит, 1987 \leq x \leq 2014. Согласно признаку делимости на 3, числа x и S(x) имеют одинаковые остатки от деления на 3. Если число x кратно 3, то x=3k, k \in \mathbb N и S(x)=3m, m \in \mathbb N и сумма x+S(x) кратна 3. Но число 2015 не кратно 3. В данном случае уравнение не имеет решений.

Пусть x=3k+1 и S(x)=3m+1, тогда сумма x+S(x), как и число 2015, при делении на 3 имеет остаток 2. Среди чисел от 1987 до 2014 остаток 1 при делении на 3 дают числа 1987, 1990, 1993, 1996, 1999, 2002, 2005, 2008, 2011, 2014. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходят только 1993 и 2011. Пусть x=3k+2 и S(x)=3m+2, тогда сумма x+S(x) при делении на 3 имеет остаток 1, а число 2015 при делении на 3 имеет остаток 2. В этом случае уравнение не имеет решений.

б) Согласно признаку делимости на 3 числа x, S(x) и S(S(x)) имеют одинаковые остатки от деления на 3. Значит, сумма x+S(x)+S(S(x)) делится на 3. Число 2015 на 3 не делится, поэтому решений нет.

в) Число x < 2015. Среди чисел, меньших 2015, наибольшую сумму цифр 28 имеет число 1999. Так как S(x) \leq 28, S(S(x)) \leq S(19)=10, S(S(S(x))) \leq 9, то x= 2015-S(x)-S(S(x))-S(S(S(x))) \geq 2015-28-10-9=1968.

Согласно признаку делимости на 9 числа x, S(x) и S(S(x)) и S(S(S(x))) имеют одинаковые остатки от деления на 9. Число 2015 при делении на 9 дает остаток 8, поэтому число x должно давать остаток 2. Среди чисел от 1968 до 2015 остаток 2 при делении на 9 дают 1973, 1982, 1991, 2000, 2009. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1991.

Ответ

а) 19932011;

б) нет решений;

в) 1991.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1023

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

В ряд выписаны n натуральных чисел. Сумма любых четырёх последовательных чисел равна 12.

а) Возможно ли, что сумма всех чисел равна 6050, если n=2016?

б) Возможно ли, что сумма всех чисел равна 6050, если n=2017?

в) Для каждого n\,(n \geq 4) определите, сколько различных решений может принимать сумма n чисел с таким свойством.

Показать решение

Решение

а) Невозможно. Найдем сумму всех чисел в явном виде. Разобьем ряд на группы по 4 числа. В первую группу войдут 4 крайних числа, в следующую — числа с 5-го по 8-е и так далее. 2016 делится нацело на 4, поэтому весь ряд разделится на группы, число групп равно 2016 : 4=504. По условию, сумма чисел в каждой группе 12. Значит, сумма всего ряда 504 \cdot 12=6048, и другая сумма получится не может.

б) Возможно. Рассмотрим, например, ряд 2, 2, 6, 2, 2, 2, 6, 2, ... , 2, 2, 6, 2, 2, состоящий из 504 четверок вида 2, 2, 6, 2, 2017-е число которого равно 2. Тогда сумма всех чисел равна (2+6+2+2) \cdot 504+2=6050. Проверим что условие выполняется. Среди любых последовательных четырех чисел три двойки и одна шестёрка, поэтому их сумма будет равна 2 \cdot 3+6=12.

в) Будем исследовать возможные значения суммы в зависимости от остатка при делении n на 4. Если n делится на 4, иными словами n=4k, где k \in \mathbb{N}, то аналогично пункту а) получается \frac{n}{4}=k четвёрок последовательно идущих чисел, сумма чисел в каждой такой четвёрке равна 12. Значит, сумма всех чисел равна сумме всех четвёрок и равна k \cdot 12=3n. Других сумм получиться не может.

Если n не делится на 4, то возможны случаи n=4k+r, где k \in \mathbb{N}, r \in \{1;2;3\}.

Рассмотрим 5 последовательных чисел этого ряда: a_{i}, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4}. По условию a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}=a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}=12. Отсюда a_{i}=a_{i+4}, то есть числа в ряду повторяются через четыре.

Если в ряду k одинаковых четвёрок и еще r чисел (r от 1 до 3), то эти r чисел равны начальным числам четвёрки. Сумма четверок равна 12k.

Числа ряда натуральные, поэтому a_{i} \geq 1. При этом из четырёх последовательных чисел сумма любых трех не меньше 3, значит, четвертое число не больше 12-3=9.

Для случая n=4k+1 сумма S может изменяться от 12k+1 до 12k+9 включительно, всего можно получить 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t\,(t \in \mathbb{N}, 1 \leq t \leq 9) можно получить, например, так:

\color{red}{t, 10-t,1,1,...,t,10-t,1,1},t. Выделенное красным: – четверок (t,10-t,1,1).

Из четырёх последовательных чисел сумма любых двух не меньше 2, значит, третье и четвёртое числа в сумме не больше 12-2=10. Поэтому для случая n=4k+2 сумма S может изменяться от 12k+2 до 12k+10 включительно, всего можно получить 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t\,(t \in \mathbb{N}, 2 \leq t \leq 10) можно получить, например, так:

\color{red}{t-1,1,1,11-t,...,t-1,1,1,11-t},t-1,1. Выделенное красным: – четверок (t-1,1,1,11-t).

Из четырех последовательных чисел любое число не меньше 1, значит, три остальных числа в сумме не меньше 3 и не больше 12-1=11. Поэтому для случая n=4k+3 сумма S может изменяться от 12k+3 до 12k+11 включительно, всего можно получить также 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t\,(t \in \mathbb{N}, 3 \leq t \leq 11) можно получить, например, так:

\color{red}{t-2,1,1,12-t,...,t-2,1,1,12-t},t-2,1,1. Выделенное красным: – четверок (t-2,1,1,12-t).

Ответ

а) нет; б) да; в) 1, если n делится на 4; 9, если n не делится на 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1022

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На столе перед нумизматом лежит 200 монет орлом кверху. За один ход нумизмат переворачивает любые 4 разные монеты. Разрешено так же переворачивать те монеты, которые уже переворачивались ранее.

а) Может ли в результате нескольких ходов ровно 6 монет выпасть кверху решкой?

б) Может ли в результате нескольких ходов ровно 3 монеты выпасть кверху решкой?

в) Найдите наибольшее число монет, которое может выпасть кверху решкой, если хотя бы одна монета должна в конечном итоге выпасть кверху орлом?

Показать решение

Решение

а) Да. Пусть в первый ход нумизмат переворачивает 4 монеты. Вторым ходом он переворачивает 3 ещё нетронутых монеты и 1 монету, которую перевернул за первый ход. Таким образом, окажется ровно 6 монет решкой кверху.

б) Нет, так как количество монет решкой кверху после каждого хода будет оставаться чётным. Изначально решкой кверху лежит 0 монет (чётное число).

Если за один ход нумизмат переворачивает 4 монеты, которые были решкой кверху, то количество монет кверху решкой уменьшится на 4.

Если за один ход нумизмат переворачивает 3 монеты кверху решкой и 1 монету кверху орлом, то количество монет кверху решкой уменьшится на 2.

Если за один ход нумизмат переворачивает 2 монеты кверху решкой и 2 монеты кверху орлом, то количество монет кверху решкой не изменяется (можно сказать «изменяется на 0»).

Если за один ход нумизмат переворачивает 1 монету кверху решкой и 3 монеты кверху орлом, то количество монет кверху решкой увеличивается на 2.

Если за один ход нумизмат переворачивает 4 монеты, которые были кверху орлом, то количество монет кверху решкой увеличивается на 4.

Таким образом, после произвольного хода количество монет кверху решкой изменяется на 4, на 2 или на 0, то есть на чётное число. Изначально количество монет кверху решкой 0 — чётное число, следовательно, их число будет оставаться четным числом и не может быть равно 3.

в) Число монет кверху решкой не должно равняться 200 (по условию) и не может равняться 199, так как число 199 — нечетно (см. решение б). Покажем, что число монет решкой кверху может равняться 198. Пусть первые 49 ходов нумизмат переворачивал только ранее нетронутые монеты. В итоге кверху решкой окажется 49 \cdot 4=196 монет. За 50-й ход нумизмат перевернет 3 монеты, которые лежали орлом кверху, и 1 монету, которая лежала кверху решкой. Кверху решкой окажется 198 монет.

Ответ

а) да; б) нет; в) 198.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1021

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 9 раз больше, либо в 9 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 19\,399.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Показать решение

Решение

а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов.

Пусть меньшее из чисел последовательности a, тогда второе число 9a. Сумма членов a+9a=10a. По условию эта сумма равна 19\,399, и оа должна делиться на 10 (a — натуральное число). Но 19\,399 не делится на 10. Наше предположение неверно, следовательно, данная последовательность не может состоять из двух членов.

б) Да, может. Например, такой является последовательность 1021 \cdot 9; 1021; 1021 \cdot 9, то есть 9189; 1021; 9189 (мы рассмотрели случай последовательности 9a, a, 9a с суммой 19a).

в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна 10 (два соседних члена равны 9 и 1).

19\,399=10 \cdot 1939+9, 1940 пар быть не может. Таким образом, чисел меньше чем 1940 \cdot2.

Значит, максимальное число членов последовательности 1939 \cdot 2+1=3879.

В этом случае последовательность имеет вид: 9,1,9,1,...,9.

Ответ

а) нет; б) да; в) 3879

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1020

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Дана последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, кроме первого и последнего, меньше среднего арифметического соседних с ним чисел.

а) Приведите пример последовательности, состоящей из пяти членов, с суммой, равной 40.

б) Может ли в последовательности из пяти членов быть два равных между собой?

в) Какая минимальная сумма может быть в последовательности из шести членов?

Показать решение

Решение

а) (1,2,5,9,23).

б) (1,1,5,10,23).

в) Рассмотрим последовательность, в которой есть два члена, равные единице. В противном случае сумма членов этой последовательности увеличится. Пусть первые два числа равны 1 (наименьшие натуральные числа). Рассмотрим последовательность (1,1,a,b,c,d).

Выберем третий член последовательности. Это наименьшее из натуральных чисел, для которых выполняется неравенство 1 < \frac{1+a}{2}, откуда a=2. Аналогично b выберем наименьшим из натуральных чисел, для которых выполняется неравенство 2 < \frac{1+b}{2}, то есть b=4, далее находим c и d из условий 4 < \frac{2+c}{2}, то есть c=7,\, 7 < \frac{4+d}{2}, то есть d=11. Получили последовательность (1,1,2,4,7,11). Сумма её членов равна 26.

Заметим:

1) три члена, равные единице, в последовательности быть не могут;

2) две единицы могут занимать только соседние места.

В случае, если обе единицы расположены на 2-м и 3-м месте, приводят последовательность (2,1,1,2,4,7), сумма членов которой равна 17.

Если обе единицы расположены на 3-м и 4-м месте, получим последовательность (4,2,1,1,2,4), сумма членов которой равна 14.

Остальные случаи симметричны рассмотренным ранее.

Ответ

а) (1,2,5,9,23); б) да; в) 14.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №971

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На доске записаны числа 1,2,3,...,27. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 31. Суммы троек стёртых чисел на каждом из ходов должны быть различными.

а) Приведите пример последовательных четырёх ходов.

б) Можно ли сделать 9 ходов?

в) Найдите наибольшее число ходов, которое сделать?

Показать решение

Решение

а) Пример четырёх ходов.

1) (27,1,2) — сумма 27+1+2=30,

2) (20,4,5) — сумма 20+4+5=29,

3) (7,8,13) — сумма 7+8+13=28,

4) (6,9,12) — сумма 6+9+12=27.

Возможны и другие примеры.

б) Предположим, что можно сделать 9 ходов. Тогда надо стереть все числа. Сумма всех чисел равна 1+2+3+...+27=\frac{1+27}{2} \cdot 27=378.

С другой стороны, сумма чисел в каждой стёртой тройке меньше 31 и все девять сумм троек различны. Значит, их общая сумма не превышает 30+29+28+...+22= \frac{30+22}{2} \cdot 9=234. Но 234 < 378. Получили противоречие. Сделать 9 ходов невозможно.

в) Предположим, что сделано k ходов. За эти ходы вычеркнуто 3k различных чисел. Их общая сумма S не меньше, чем 1+2+3+...+3k=\frac{1+3k}{2} \cdot 3k, то есть S \geq \frac{1+3k}{2} \cdot 3k.

С другой стороны, S \leq 30+29+28+...+(31-k)= \frac{61-k}{2} \cdot k. Тогда \frac{1+3k}{2} \cdot 3k \leq S \leq \frac{61-k}{2} \cdot k; (1+3k) \cdot 3 \leq 61-k; 10k \leq 61-3, k \leq 5,8.

Но число ходов k является натуральным числом, поэтому k \leq 5.

Полученное ограничение еще не означает, что 5 ходов сделать можно, оно лишь означает, что нельзя сделать больше 5 ходов. Построим пример 5 ходов. Первые 4 хода такие же, как в пункте а). Пятый ход (10,11,3), с суммой 10+11+3=24. Таким образом, наибольшее возможное число ходов равно 5.

Ответ

а) (27,1,2), (20,4,5), (7,8,13), (6,9,12);

б) нет;

в) 5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №964

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На доске записаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 32. Суммы троек стёртых чисел на каждом из ходов должны быть различными.

а) Напишите пример последовательных трёх ходов.

б) Возможно ли сделать 5 ходов?

в) Определите наибольшее возможное число ходов, которые можно сделать?

Показать решение

Решение

а) Пример последовательных трех ходов (стёрты тройки чисел):

(4, 7, 10); (5, 8, 11); (6, 9, 12).

б) Пусть сделано 5 ходов, стёрли 5 \cdot 3=15 чисел, то есть стерты все числа.

Сумма чисел 4, 5, 6,...18 равна \frac{4+18}{2} \cdot 15=165. Каждая из сумм стираемых чисел меньше 32, значит, сумма всех стёртых за 5 ходов чисел меньше 32 \cdot 5=160, 160 < 165. Следовательно, 5 ходов сделать нельзя.

в) Пусть можно сделать 4 хода. Тогда сумма стёртых за 4 хода чисел не меньше

4+5+6+7+8+9+10+11+12+ 13+14+15= \frac{4+15}{2} \cdot 12= 114.

С другой стороны, эта сумма не больше суммы четырёх различных натуральных чисел, меньших 31+30+29+28=118. Значит, можно сделать 4 хода. Пример последовательных четырёх ходов (стираются тройки чисел): (17, 10, 4); (16, 9, 5); (15, 8, 6); (14, 3, 7).

Ответ

а) (4, 7, 10); (5, 8, 11); (6, 9, 12);

б) нет;

в) 4

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №239

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На полиграфической фабрике страницы тетради пронумерованы числами от 1 до 96. На случайной странице Максим, записал число 0 и пронумеровал все страницы далее до конца тетради числами 1, 2, 3,... и т.д., не пропуская ни одной. Затем он вернулся к странице с записанным 0 и пронумеровал страницы тетради назад числами -1, -2, -3, ... и т.д. до начала тетради без пропусков. Сумма всех записанных чисел в тетради равна S. Определите номер страницы фабричной нумерации, на которой Максим записал число 0, если:

а) S=48;

б) S=4\,560;

в) S=1\,968

Показать решение

Решение

а) Очевидно, что сумма 96 чисел

(-47-46-...-1+0+1+... +\,46+47)+48 равна 48, и понятно, что 0 записан на 48-й странице тетради.

б) Если 0 записан на первой странице, то сумма 96 чисел 0+1+2+3+...+94+95=4\,560. В этом нетрудно убедиться, используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

в) Рассмотрим таблицу, в первой строке которой записаны номера страниц по фабричной нумерации, а во второй строке номера, записанные Максимом.

12...kk+1k+2...2k2k+12k+22k+3...9596
-k-(k-1)...-101...k-1kk+1k+2...94-k95-k
2k+1 чисел95-2k чисел

Сумма первых 2k+1 чисел равна 0, сумму последних чисел, начиная с k+1 по 95-k, можно найти с помощью формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Эта сумма равна 48(95-2k)=S, которую нашел мальчик. Приравняв ее к числу 1\,968, получим уравнение 48(95-2k)=1\,968, поэтому k=27. Число 0 мальчик записал на странице с номером k+1, то есть на 28-й странице.

Ответ

а) 48; б) 1; в) 28.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.