Задания по теме «Цилиндр»

Открытый банк заданий по теме цилиндр. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №911

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.

Цилиндрический сосуд с водой

Показать решение

Решение

Пусть R — радиус основания цилиндра, а h — уровень воды, налитой в сосуд. Тогда объём налитой воды равен объёму цилиндра с радиусом основания R и высотой h. Vводы = Sосн. · h = \pi R^2\cdot h. Согласно условию выполняется равенство 2000=\pi R^2\cdot15. Отсюда, \pi R^2=\frac{2000}{15}=\frac{400}{3}.

Пусть H — уровень воды в сосуде после погружения в него детали. Тогда суммарный объем воды и детали равен объему цилиндра с радиусом основания R и высотой H. По условию H=h+9=15+9=24. Значит, Vводы + детали = \pi R^2\cdot H=\frac{400}{3}\cdot24=3200. Следовательно, Vдетали = Vводы + детали  Vводы = 3200-2000=1200.

Ответ

1200
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №315

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 8, а площадь боковой поверхности 96\pi.

Показать решение

Решение

Боковая поверхность цилиндра

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac{96\pi}{16\pi}=6.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №72

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В сосуд цилиндрический формы налили 500 куб. см воды. Определите объем детали полностью погруженной в воду, если после погружения уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Выразите ответ в куб. см.

Показать решение

Решение

Обозначим за V1 изначальный объем жидкости в цилиндре. После погружения детали, объем жидкости увеличился в 1,2 раза, значит конечный объем жидкости равен V2 = 1,2·V1. Объем детали равен разности объемов до и после погружения, значит V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 куб. см.

Ответ

100

Задание №71

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

Уровень жидкости в первом сосуде цилиндрической формы достигает 63 см. Диаметр второго сосуда, такой же формы, больше диаметра первого в 3 раза. Определите уровень жидкости, если ее перелить из первого сосуда во второй. Ответ укажите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Формула вычисления объема первого цилиндра имеет вид:

V_1=\pi \cdot R_1^2 \cdot h_1=\pi\left ( \frac{d_1}{2} \right )^2h_1, где:

d1 – диаметр цилиндра;

h1 – высота цилиндра.

Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то его объем равен: V_2=\pi\left ( \frac{3d_1}{2} \right )^2h_2

При переливе жидкости ее исходный объем не изменяется, т.е.: V1 = V2, а значит справедливо равенство: \pi\left(\frac{d_1}{2}\right)^2h_1=\pi\left(\frac{3d_1}{2}\right)^2h_2

Подставим значения из условия, упростим выражение и найдем искомую высоту жидкости второго сосуда h2:

\pi \enspace\frac{d_1^{2}}{4}\enspace 63=\pi \enspace\frac{9d_1^{2}}{4}\enspace h_2

\frac{63}{4}=\frac{9}{4}h_2

h_2=\frac{63}{9}=7

Ответ

7