Задания по теме «Фигуры на квадратной решетке»

Открытый банк заданий по теме фигуры на квадратной решетке. Задания B3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №867

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Треугольник ABC на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

M — середина стороны AB, следовательно, CM — медиана, CM = 4.

Треугольник с медианой из вершины C на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

 

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №866

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Точки A, B и С на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Посчитаем по клеткам расстояние от точки A до прямой BC. Оно равно 3.

Прямая проведенная через точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №865

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге изображён круг площадью 36. Найдите площадь заштрихованного сектора.

Круг на клетчатой бумаге с заштрихованной областью

Показать решение

Решение

Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга, т.е. его площадь равна 0,5\cdot36=18.

Ответ

18
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №864

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.

Равнобедренный прямоугольный треугольник на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза AB = 9. Медиана CM = 4,5.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с медианой на клетчатой решетке

Ответ

4,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №863

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором катет BC = 5, катет AC = 12. Гипотенузу AB найдём по теореме Пифагора. AB = \sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13.

Построенный треугольник через точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

13
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №862

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.

Треугольник на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Длина средней линии MN равна половине длины стороны AB, равной 5.

MN=\frac12 AB=\frac12\cdot5=2,5

Треугольник со средней линией на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

2,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №860

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Параллелограмм на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Проведём высоту CH параллелограммаABCD.

S_{ABCD}=AD\cdot CH.

AD=2, CH=4,

S_{ABCD}=2\cdot4=8

Параллелограмм с высотой на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №859

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ромб на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. AC = 8, BD = 4, следовательно S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD=16

Ромб с диагоналями на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №858

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен угол. Найдите тангенс этого угла.

Угол на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Проведем ВС перпендикулярно OA и рассмотрим прямоугольный треугольник OBC, tg\angle BOA=tg\angle BOC=\frac{BC}{OC}=\frac 54=1,25

Угол с достроенным треугольником на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

1,25
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №269

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, если стороны квадратных клеток равны \frac{\sqrt2}{2}.

Квадрат на клетчатой решетке

Показать решение

Решение

Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.

Квадрат и вписанная окружность

Из рисунка, на котором в условии задачи изображен квадрат, делаем вывод, что сторона квадрата равна 5-ти диагоналям квадрата со стороной \frac{\sqrt2}{2}.

Квадрат и диагональ квадрата

По теореме Пифагора d= \sqrt{ \left ( \frac{\sqrt2}{2} \right )^2 + \left ( \frac{\sqrt2}{2} \right )^2 } = \sqrt{\frac12+\frac12}= 1.

Значит, сторона квадрата равна 5, а радиус окружности равен 2,5.

Ответ

2,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.