Задания по теме «Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов»

Открытый банк заданий по теме геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №897

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 75^{\circ},  84^{\circ},  51^{\circ},  150^{\circ}. Найдите угол B этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник вписанный в окружность

Показать решение

Решение

Угол B четырёхугольника ABCD описается на дугу AC, которая равна сумме дуг AD и DC. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он описается.

\angle B= (\smile AB+\smile DC):2= (51^{\circ}+150^{\circ}):2= 100,5^{\circ}.

Ответ

100,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №896

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна \frac13 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности

Показать решение

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^{\circ}, дуга составляет треть окружности, то есть 360^{\circ}:3=120^{\circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 120^{\circ}:2=60^{\circ}.

Ответ

60
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №895

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 43. Косинус острого угла трапеции равен 0,7. Найдите боковую сторону.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC=15, AD=43 — основания, AB=CD.

равнобедренная трапеция ABCD с высотами CK и BH

Проведём высоты CK и BH. BCKH — прямоугольник, BC=KH=15. Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому углу, откуда AH=KD=(43-15):2=14. Треугольник ABH прямоугольный, \cos A=\frac{AH}{AB}. Боковая сторона трапеции AB=AH:\cos A=14:0.7=20.

Ответ

20
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №894

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В тупоугольном треугольнике ABC AC=BC=50, AH — высота, CH=40. Найдите \cos ACB.

Показать решение

Решение

\angle ACB=180^{\circ}-\angle ACH, поэтому \cos\angle ACB=-\cos\angle ACH=-\frac{CH}{AC}.

Тупоугольный треугольник ABC с высотой AH

По условию CH=40, AC=50.

\cos\angle ACB=-\frac{40}{50}=-0,8

Ответ

-0,8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №893

Тип задания: 6
Тема: Прямоугольный треугольник

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, BC=8, tg A=0,4. Найдите AC.

Показать решение

Решение

tg A=\frac{BC}{AC},

\frac{8}{AC}=0,4,

AC=8:0,4=20.

Прямоугольный треугольник ABC

Ответ

20
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №892

Тип задания: 6
Тема: Параллелограмм

Условие

Площадь параллелограмма ABCD равна 324. Точка P — середина стороны BC. Найдите площадь трапеции APCD.

Показать решение

Решение

Точка P — середина стороны BC, поэтому PC=0,5BC. Обозначим h высоту параллелограмма, проведённую к стороне AD.

Параллелограмм ABCD с высотой h и образованной трапецией APCD

Тогда площадь параллелограмма S равна BC\cdot h=324.

Площадь трапеции APCD равна \frac{PC+AD}{2}\cdot h= \frac{0,5BC+BC}{2}\cdot h= \frac{1,5BC}{2}\cdot h= 0,75S=243

Ответ

243
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №891

Тип задания: 6
Тема: Равнобедренный треугольник

Условие

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^{\circ}. Боковая сторона треугольника равна 14. Найдите площадь этого треугольника.

Равнобедренный треугольник

Показать решение

Решение

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. В заданном треугольнике площадь S=\frac12\cdot14\cdot14\cdot\sin30^{\circ}=49.

Ответ

49
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №890

Тип задания: 6
Тема: Параллелограмм

Условие

Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Параллелограмм с двумя высотами опущенными на стороны

Показать решение

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Для параллелограмма ABCD выполняется S=AB\cdot DH=CB\cdot DE. Получаем 16DH=8\cdot14, DH=7.

Ответ

7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №889

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 48^{\circ}, угол C равен 62^{\circ}. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC с продолжением стороны AB

Показать решение

Решение

Угол CBD является внешним углом треугольника ABC и равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Найдём угол CBD.

\angle CBD = \angle A + \angle C = 48^{\circ}+62^{\circ}= 110^{\circ}. Треугольник BCD равнобедренный, его углы при основании равны: \angle D=\angle DCB. Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}. Тогда \angle D = (180^{\circ}-110^{\circ}):2=35^{\circ}.

Ответ

35
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №888

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 16 и 22, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45^{\circ}.

Показать решение

Решение

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD с основаниями BC=16 и AD=22, \angle A=90^{\circ}, \angle D=45^{\circ}. Проведём высоту CH. ABCH — прямоугольник, BC=AH=16, тогда HD=22-16=6.

Прямоугольная трапеция ABCD с высотой CH

Треугольник CDH прямоугольный и равнобедренный (т.к. \angle CHD=90^{\circ}, \angle HCD=45^{\circ}=\angle D). HD=HC=6.

Площадь трапеции S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{16+22}{2}\cdot6=114.

Ответ

114
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.