Задания по теме «Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема»

Открытый банк заданий по теме геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №917

Условие

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 5\sqrt2 Найдите радиус сферы.

Показать решение

Решение

Обозначим вершину конуса через A, а центр основания через O. Проведём через AO плоскость. В этой плоскости будет находиться диаметр сферы CB, AB — образующая конуса.

Сфера описанная около конуса

Тогда треугольник AOB — прямоугольный с прямым углом AOB. При этом AO=OB=R, где R — радиус сферы. По теореме Пифагора (AO)^2+(OB)^2=(AB)^2, R^2+R^2=(5\sqrt2)^2, 2R^2=25\cdot2, R^2=25, R=5.

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №916

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2. Найдите расстояние между точками A и E_1.

Показать решение

Решение

Треугольник AEE_1 — прямоугольный, так как ребро EE_1 перпендикулярно плоскости основания призмы, прямым углом будет угол AEE_1.

Правильная шестиугольная призма

Тогда по теореме Пифагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Найдём AE из треугольника AFE по теореме косинусов. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120^{\circ}. Тогда AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^{\circ}= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left ( -\frac12 \right ).

Отсюда, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №915

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, B_1 Прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого AB = 6, AD = 6 и AA_1 = 8.

Показать решение

Решение

Указанный в условии многогранник является треугольной пирамидой, в основании которой лежит треугольник ABC, а высотой является боковое ребро призмы BB_1 так как BB_1\perp ABCD.

Треугольная пирамида в параллелепипеде

S_{ABC}= \frac12S_{ABCD}= \frac12\cdot AB\cdot BC= \frac12\cdot6\cdot6=18.

Отсюда, V_{ABCB_1}= \frac12S_{ABC}\cdot BB_1= \frac13S_{ABC}\cdot AA_1= \frac13\cdot18\cdot8= 48.

Ответ

48
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №914

Тип задания: 8
Тема: Параллелепипед

Условие

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 2 и острым углом 60^{\circ}. Одно из рёбер параллелепипеда составляет с плоскостью этой грани угол 60^{\circ} и равно 4. Найдите объём параллелепипеда.

Показать решение

Решение

Примем указанную в условии грань параллелепипеда за его основание. Тогда параллелепипед будет наклонной призмой, объём V которой находим по формуле V = Sосн. · h, где Sосн. — площадь основания, а h — высота призмы. Опустим из точки A_1 верхнего основания перпендикуляр A_1K на нижнее основание.

Наклонная призма

Тогда A_1K будет высотой призмы, A_1K=h. \angle A_1AK является углом между ребром AA_1 и плоскостью основания, по условию он равен 60^{\circ}. Тогда A_1K= AA_1\cdot\sin60^{\circ}= 4\cdot\frac{\sqrt3}{2}= 2\sqrt3.

Площадь основания, являющегося ромбом, находим по формуле Sосн. = AB\cdot AD\cdot\sin60^{\circ}= 2\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2}= 2\sqrt3.

Отсюда, V = Sосн. · h = 2\sqrt3\cdot2\sqrt3=12.

Ответ

12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №913

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Данный многогранник является прямой призмой и получается объединением двух прямых призм. В основании первой призмы лежит прямоугольник со сторонами 3 и 3, а её высота h_1 равна 5. Объём этой призмы V_1 находим по формуле V1 = Sосн. · h1 = 3\cdot3\cdot5 = 45. В основании второй призмы лежит прямоугольник со сторонами 2 и 1, а её высота h_2 равна 5. Объём этой призмы V_2 находим по формуле V2 = Sосн. · h2 = 2\cdot1\cdot5 = 10. Объём V данного многогранника равен сумме объёмов указанных призм: V = V_1 + V_2 = 45 + 10 = 55.

Ответ

55
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №912

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4\sqrt5 и 8, и боковым ребром, равным 5.

Прямая призма, в основании которой лежит ромб

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы находим по формуле Sбок. = Pосн. · h = 4a\cdot h, где Pосн. и h соответственно периметр основания и высота призмы, равная 5, и a — сторона ромба. Найдём сторону ромба, пользуясь тем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Ромб ABCD с диагоналями

Из треугольника BOC по теореме Пифагора находим BC^2=BO^2+OC^2= \left ( \frac82 \right )^2+\left ( \frac{4\sqrt5}{2} \right )^2= 16+20=36, BC=6.

Следовательно, Sбок. = 4\cdot6\cdot5=120.

Ответ

120
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №911

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.

Цилиндрический сосуд с водой

Показать решение

Решение

Пусть R — радиус основания цилиндра, а h — уровень воды, налитой в сосуд. Тогда объём налитой воды равен объёму цилиндра с радиусом основания R и высотой h. Vводы = Sосн. · h = \pi R^2\cdot h. Согласно условию выполняется равенство 2000=\pi R^2\cdot15. Отсюда, \pi R^2=\frac{2000}{15}=\frac{400}{3}.

Пусть H — уровень воды в сосуде после погружения в него детали. Тогда суммарный объем воды и детали равен объему цилиндра с радиусом основания R и высотой H. По условию H=h+9=15+9=24. Значит, Vводы + детали = \pi R^2\cdot H=\frac{400}{3}\cdot24=3200. Следовательно, Vдетали = Vводы + детали  Vводы = 3200-2000=1200.

Ответ

1200
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №910

Условие

Куб описан около сферы радиусом 2. Найдите объём куба.

Куб описан около сферы

Показать решение

Решение

Так как куб описан около сферы, то длина диаметра этой сферы равна длине ребра куба. По условию радиус сферы равен 2, поэтому диаметр сферы в два раза больше и равен 4. Объём куба V находится по формуле V=a^3, где a — ребро куба. Поэтому V=a^3=4^3=64.

Ответ

64
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №909

Условие

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 4. Боковое ребро призмы равно \frac{4}{\pi}. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Цилиндр описанный около призмы с квадратным основанием

Показать решение

Решение

Рассмотрим рисунок, приведённый в условии. Диаметр основания цилиндра является диагональю AC квадрата ABCD, а радиус R основания цилиндра равен половине AC. Согласно теореме Пифагора AC= \sqrt{AB^2+BC^2}= \sqrt{4^2+4^2}= \sqrt{32}= 4\cdot\sqrt2. R=2\cdot\sqrt2. Заметим, что высота цилиндра совпадает с высотой призмы h. Отсюда следует, что V = Sосн. · h = \pi\cdot R^2\cdot h= \pi\cdot(2\sqrt2)^2\cdot\frac{4}{\pi}= 8\cdot4= 32.

Ответ

32
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №908

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Площадь поверхности S многогранника состоит из площади оснований и площади боковой поверхности. Площадь одного из двух равных оснований равна разности площадей двух прямоугольников, имеющих измерения 6×4 и 1×2, то есть 6\cdot4-2\cdot1. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания многогранника на его высоту. Отсюда, S = 2 · Sосн. + Sбок. = 2 · Sосн. + Pосн. · h, где Sосн. Pосн. и h соответственно — площадь основания, периметр основания и высота многогранника. S=(6\cdot4-2\cdot1)\cdot2+ (2+1+1+6+4+6+1+1)\cdot4= 132.

Ответ

132
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.