Задания по теме «Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции»

Открытый банк заданий по теме геометрический смысл производной. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №906

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=3x-7 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2-6x-2. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^3+3x^2-6x-2 в произвольной точке x_0 равен y'(x_0). Но y'=3x^2+6x-6, значит, y'(x_0)=3x_0^2+6x_0-6. Угловой коэффициент касательной y=3x-7, указанной в условии, равен 3. Поэтому находим такое значение x_0, что 3x_0^2+6x_0-6=3, 3x_0^2+6x_0-9=0. По формулам корней квадратного уравнения получаем, что либо x_0=-3, либо x_0=1.

Заметим, что y(-3)= (-3)^3+3\cdot(-3)^2-6\cdot(-3)-2=16, а y(1)=1^3+3\cdot1^2-6\cdot1-2=-4. Получаем две возможные точки касания: (-3; 16); (1; -4). Выясним, через какую из них проходит касательная y=3x-7. Координаты точки (-3; 16) не удовлетворяют уравнению касательной, так как равенство 16=3\cdot(-3)-7 не является верным. Но равенство -4=3\cdot1-7 является верным. Поэтому касательная проходит через точку (1; -4) с абсциссой, равной 1.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №905

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=4x^2+7x+c. Найдите c.

Показать решение

Решение

Пусть (x_0; y_0) — точка, в которой прямая y=3x+2 касается графика функции y=4x^2+7x+c. Тогда угловой коэффициент касательной к графику функции y=4x^2+7x+c в точке x_0 равен y'(x_0). Но y'=8x+7, значит, y'(x_0)=8x_0+7. Угловой коэффициент касательной y=3x+2 указанной в условии, равен 3. Поэтому 8x_0+7=3.

Кроме того, точка (x_0; y_0) лежит на прямой y=3x+2 и на графике функции y=4x^2+7x+c. Значит, выполняется равенство y_0=3x_0+2=4x_0^2+7x_0+c. Получаем систему:

\begin{cases} 8x_0+7=3, \\ 3x_0+2=4x_0^2+7x_0+c; \end{cases}

\begin{cases} x_0=-0,5, \\ -4x_0^2-4x_0+2=c. \end{cases}

Отсюда, c=3.

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №902

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x+2 или совпадает с ней.

График y=f'(x) — производной функции f(x)

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x+2 или совпадает с ней. Тогда значение производной y=f'(x) в точке x_0 равно 3, так как угловой коэффициент касательной y=3x+2 равен 3.

Но из графика видно, что f'(x) = 3 в единственной точке x_0=-1.

Действительно, прямая y=3 пересекает график функции y=f'(x) в единственной точке (-1; 3), абсцисса которой равна −1.

Ответ

-1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №898

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

График функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки B(5; 3) и A(-3; 2).

Известно, что значение производной в точке x_0 равно уголовому коэффициенту касательной.

k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}= \frac{3-2}{5-(-3)}=\frac18=0,125.

График функции y=f(x) и касательная к нему с точками A и B

Ответ

0,125
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №308

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=5x+17 является касательной к графику функции y=12x^2+bx+20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Показать решение

Решение

Касательная y=5x+17 к параболе y=12x^2+bx+20 имеет с параболой единственную общую точку. Поэтому квадратное уравнение 5x+17=12x^2+bx+20 имеет единственное решение. Тем самым, дискриминант этого квадратного уравнения равен 0.

Преобразуем уравнение 5x+17=12x^2+bx+20 к стандартному виду 12x^2+(b-5)x+3=0.

D=(b-5)^2-4\cdot12\cdot3=0,

(b-5)^2=144,

b-5=\pm12,

b_1=17,\; b_2=-7.

При b=17 абсциссу точки касания находим из уравнения 12x^2+(b-5)x+3=0,

12x^2+12x+3=0.

Решая уравнение, получаем x=-\frac{6}{12}=-\frac12,\;-\frac12<0, поэтому b=17 не является искомым.

При b=-7 получаем уравнение 12x^2-12x+3=0,

x=\frac12,\;\frac12>0, значит при b=-7 абсцисса точки касания положительна.

Ответ

-7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №303

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 5). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=3x-3 или совпадает с ней.

График y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 5)

Показать решение

Решение

Если касательная параллельна прямой y=3x-3 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой, то есть 3.

График y=f'(x) производной функции f(x) с абсциссой точки касания касательной

Согласно геометрическому смыслу производной это означает, что f'(x_0)=3, где x_0 — искомая абсцисса точки касания. Из данного графика производной y=f'(x) видно, что x_0=2.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №299

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику

Показать решение

Решение

Значением производной функции в точке является угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке и равно тангенсу угла наклона касательной к оси Ox.

Построим прямоугольный треугольник ABC и по рисунку найдем тангенс угла BAC, смежного с углом наклона касательной к оси Ox.

График функции y=f(x) и касательная с прямоугольным треугольником

Тангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg\angle BAC=\frac{BC}{AC}

На рисунке видно, что противолежащий катет BC = 4, а прилежащий AC = 8, значит:

f'(x_0)=tg\angle BAC=\frac{4}{8}=0,5

Ответ

0,5

Задание №94

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y = −6x + 7 является касательной к графику функции y = ax2 − 2x + 8. Найдите параметр а.

Показать решение

Решение

Так как график функции и касательная имеют одну точку касания, то в этой точке будет справедливо равенство ax2 − 2x + 8 = −6x + 7.

Упростим уравнение:

ax2 + 4x + 1 = 0

В точке касания уравнение ax2 + 4x + 1 = 0 должно иметь единственное решение. По условию существования одного корня квадратного уравнения, необходимо чтобы дискриминант был равен нулю: D = b2 − 4ac = 0. Получаем:

16 − 4a = 0

a = 4

Ответ

4

Задание №93

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику

Показать решение

Решение

Значением производной функции в точке является угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке и равно тангенсу угла наклона касательной к оси Ox.

Построим прямоугольный треугольник ABC и по рисунку найдем тангенс угла ACB, смежного с углом наклона касательной к оси Ox.

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная с образованным треугольником

Тангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg\angle ACB=\frac{AB}{BC}

На рисунке видно, что противолежащий катет AB = 2, а прилежащий BC = 8, значит:

f'(x_0)=tg\angle ACB=\frac{2}{8}=0,25

Ответ

0,25

Задание №92

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графикуНа рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Показать решение

Решение

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная с образованным треугольникомЗначением производной функции в точке является угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке и равно тангенсу угла наклона касательной к оси Ox.

Построим прямоугольный треугольник ABC и по рисунку найдем тангенс угла ACB, смежного с углом наклона касательной к оси Ox.

Тангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg\angle ACB=\frac{AB}{BC}

На рисунке видно, что противолежащий катет AB = 9, а прилежащий BC = 3, значит:

f'(x_0)=tg\angle ACB=\frac{9}{3}=3

Ответ

3