Задания по теме «Иррациональные функции»

Открытый банк заданий по теме иррациональные функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №953

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=x\sqrt x-6x+2000 на отрезке [2; 30].

Показать решение

Решение

ОДЗ x\geqslant0. Преобразуем исходную функцию y=x\cdot x^{\tfrac12}-6x+2000,

y=x^{1+\tfrac12}-6x+2000,

y=x^{\frac32}-6x+2000.

Найдём производную: y'=\frac32x^{\tfrac12}-6.

Вычислим нули производной: \frac32x^{\tfrac12}-6=0,

x^{\tfrac12}=4,

x=16.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка видно, что на отрезке [2; 16] исходная функция убывает, а на отрезке [16; 30] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [2; 30] достигается при x=16 и равно y(16)= 16\sqrt{16}-6\cdot16+2000= 64-96+2000=1968.

Ответ

1968
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №948

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Рассмотрите функцию y=\sqrt{x^2+40x+625} и найдите её наименьшее значение.

Показать решение

Решение

Для неотрицательных t функция \sqrt t возрастает, значит, \sqrt t наименьшее при наименьшем значении t. Преобразуем выражение под знаком корня.

Заметим, что x^2+40x+625= x^2+2\cdot20x+20^2+(625-20^2)= (x^2+40x+400)+225= (x+20)^2+225\geqslant225, причём при x=-20 достигается равенство.

Отсюда \sqrt{x^2+40x+625}\geqslant\sqrt{225}=15. При x=-20 имеем \sqrt{(-20)^2+40\cdot(-20)+625}=\sqrt{(-20+20)^2+225}=\sqrt{225}=15.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 15.

Ответ

15
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №119

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=11+24x-2x\sqrt{x} на отрезке [63; 65].

Показать решение

Решение

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=11+24x-2x^{\tfrac32}

y'=24-3\sqrt{x}

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

24-3\sqrt{x}=0

\sqrt{x}=8

x=64

На отрезке [63; 65] лежит только одна точка 64.

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = 64 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 64 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = 64.

y(64)=11+24\cdot64-2\cdot 64\sqrt{64}=523

Наибольшее значение функции равно 523.

Ответ

523

Задание №118

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=\frac23x\sqrt{x}-6x-5 на отрезке [9; 36].

Показать решение

Решение

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=\frac23x^{\tfrac32}-6x-5

y'=x^{\tfrac12}-6=\sqrt{x}-6

Уравнение производной имеет один единственный корень x = 36.

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = 36 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 36 – точка минимума функции.

Найдем наименьшее значение функции в точке x = 36.

y(36)=\frac23\cdot 36\cdot6-216-5=-77

Наименьшее значение функции равно −77.

Ответ

-77

Задание №116

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=\sqrt{x^2+10x+106}.

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+10x+106}}\cdot (x^2+10x+106)'

y'=\frac{2x+10}{2\sqrt{x^2+10x+106}}=\frac{x+5}{\sqrt{x^2+10x+106}}

Уравнение производной имеет один единственный корень x = −5.

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция в точке -5.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка следует, что x = −5 – единственная критическая точка функции и это точка минимума.

Для нахождения наименьшего значения функции, необходимо вычислить ее в полученной точке экстремума.

y(-5)=\sqrt{(-5)^2+10\cdot(-5)+106}=\sqrt{81}=9

Ответ

9