Задания по теме «Исследование произведений»

Открытый банк заданий по теме исследование произведений. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №956

Тип задания: 12
Тема: Исследование произведений

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(51-x)e^{x-50} на отрезке [42; 70].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения

y'= (51-x)'e^{x-50}+(51-x)\left ( e^{x-50} \right )'= -e^{x-50}+(51-x)e^{x-50}= (50-x)e^{x-50}.

Найдём нули производной: y'=0.

(50-x)e^{x-50}=0,

x=50.

Заметим, что при x<50 выполняется неравенство y'>0, при x>50 выполняется неравенство y'<0. Значит, функция y=(51-x)e^{x-50} возрастает при x<50 и убывает при x>50.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Значение x=50 принадлежит отрезку [42; 70], наибольшее значение на указанном отрезке достигается при x=50 и равно y(50)=(51-50)e^{50-50}=1.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №954

Тип задания: 12
Тема: Исследование произведений

Условие

Найдите точку максимума функции y=(8-x)e^{x+12}.

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции, воспользовавшись формулой производной произведения:

y'(x)= (8-x)'e^{x+12}+(8-x)\left ( e^{x+12} \right )'= -e^{x+12}+(8-x)e^{x+12}= (7-x)e^{x+12}.

y'(x)=0 при x=7. При этом y'(x)>0 при x<7, y'(x)<0 при x>7.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Таким образом, x=7 является единственной точкой максимума.

Ответ

7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №146

Тип задания: 12
Тема: Исследование произведений

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x-1)\cdot e^2x.

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=(x-1)'\cdot e^{2x}+(x-1)\cdot(e^{2x})'= e^{2x}+2(x-1)\cdot e^{2x}= (2x-1)\cdot e^{2x}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(2x-1)\cdot e^{2x}=0

x=0,5

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = 0,5 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 0,5 – точка минимума функции.

Ответ

0,5

Задание №130

Тип задания: 12
Тема: Исследование произведений

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x^2+12x+33)e^{-3-x} на отрезке [−7; 0].

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=(2x+12)\cdot e^{-3-x}+(x^2+12x+33)\cdot e^{-3-x}\cdot(-1)

y'=e^{-3-x}(2x+12-x^2-12x-33)

y'=(-x^2-10x-21)e^{-3-x}

y'=-(x^2+10x+21)e^{-3-x}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(x^2+10x+21)e^{-3-x}=0

Решим квадратное уравнение x^2+10x+21=0:

D=100-84=16

x_{1,2}=\frac{-10\pm4}{2}

x_1=-3; \enspace x_2=-7

На числовой оси отложим граничные точки отрезка, точки экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = −3 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −3 – точка максимума функции.

Ответ

-3

Задание №129

Тип задания: 12
Тема: Исследование произведений

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x+24)e^{x-70}.

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=(x+24)'e^{x-70}+e^{x-70}\cdot(x-70)'\cdot(x+24)

y'=e^{x-70}+e^{x-70}(x+24)

y'=e^{x-70}(x+25)

Производна функции обращается в нуль в точке x = −25.

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = −25 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = −25 – точка минимума функции.

Ответ

-25