Задания по теме «Логарифмические уравнения»

Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B10 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №321

Тип задания: 10
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Конденсатор телевизора имеет емкость C=3\cdot10^{-6}\Phi. Параллельно с конденсатором работает резистор с сопротивлением R=10^7 Ом. Во время работы телевизора конденсатор имеет напряжение U_0=32 кВ. После выключения телевизора напряжение конденсатора уменьшается до U кВ за время t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U} (с), где \alpha=0,7 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 42 с. Ответ дайте в киловольтах.

Показать решение

Решение

C=3\cdot10^{-6}\Phi,  R=10^7 Ом,   U_0=32 кВ, \alpha=0,7.

t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}, t\geq42.

Подставим известные значения в формулу, получим:

0,7\cdot10^7\cdot3\cdot10^{-6}\log_2\frac{32}{U}\geq42,

21\cdot\log_2\frac{32}{U}\geq42.

\log_2\frac{32}{U}\geq2,

\frac{32}{U}\geq4,

U\leq8.

Значит, наименьшее возможное напряжение на конденсаторе равно 8.

Ответ

8

Задание №60

Тип задания: 10
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Для обогрева комнаты используется радиатор, через который пропускают горячую воду, имеющую температуру T_B=57^{\circ}C. Расход воды, проходящей через трубу радиатора, равен m = 0,3 кг/с. Длина трубы составляет 56 м. После прохождения через трубу некоторого расстояния x вода частично охлаждается до температуры T, а в комнате поддерживается температура T_K=25^{\circ}C, причем:

x=\alpha \cdot \frac{cm}{\gamma }\cdot \log_2 \frac{T_B-T_K}{T-T_K}, где:

c = 4200  – удельная теплоемкость воды;

\alpha = 1,4 – постоянная;

\gamma = 63  – коэффициент теплообмена.

Определите температуру воды после прохождения радиатора.

Показать решение

Решение

Выразим значение логарифма из уравнения, данного в задаче и вычислим его значение:

x=\alpha \cdot \frac{cm}{\gamma }\cdot \log_2 \frac{T_B-T_K}{T-T_K}

\log_2 \frac{T_B-T_K}{T-T_K} =  \frac{x\gamma}{\alpha cm}

\log_2 \frac{57-25}{T-25} = \frac{56 \cdot 63}{1,4\cdot 4200\cdot 0,3}

\log_2 \frac{32}{T-25} = 2

\frac{2^5}{T-25}= 2^2

T-25=2^3

T=8+25

T=33

Ответ

33

Задание №57

Тип задания: 10
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Водолазный колокол опускают на дно озера. В начальный период времени в нем находится v = 2 моля воздуха. Во время погружения воздух изотермически сжимается до объема V2, при этом вода совершает работу 15960 Дж, которая вычисляется по формуле:

A=\alpha\cdot v\cdot T\cdot \log_2\frac{V_1}{V_2} 

где \alpha=13,3\, Дж/моль · К – постоянная; T = 300K – температура воздуха.

Определите объем V2, который займет воздух после погружения, если начальный объем V1 = 10 литров. Ответ выразите в литрах.

Показать решение

Решение

Из формулы работы, выполненной водой, выразим объем воздуха, V2 который будет в водолазном колоколе после погружения:

A=\alpha\cdot v\cdot T\cdot \log_2\frac{V_1}{V_2}\Leftrightarrow\log_2\frac{V_1}{V_2}=\frac{A}{\alpha\cdot v\cdot T} 

После раскрытия логарифма получим:

\frac{V_1}{V_2}=2^{\tfrac{A}{\alpha\cdot v\cdot T}}

V_2=\frac{V_1}{2^{\tfrac{A}{\alpha\cdot v\cdot T}}}

Подставим числовые значения: 

V_2=\frac{10}{2^{\tfrac{15960}{13,3\cdot 2\cdot 300}}}=\frac{10}{2^2}=\frac{10}{4}=2,5

Объем составит 2,5 литра

Ответ

2,5