Задания по теме «Логарифмические уравнения»

Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №887

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения 5^{\log_{25}(10x-8)}=8.

Показать решение

Решение

Найдем ОДЗ: 10x-8>0.

5^{\log_{25}(10x-8)}=5^{\log_58},

\log_{25}(10x-8)=\log_58,

\log_{5^2}(10x-8)=\log_58,

\frac12\log_5(10x-8)=\log_58,

\log_5(10x-8)=2\log_58,

\log_5(10x-8)=\log_58^2,

10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.

10x=72,

x=7,2.

Ответ

7,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №885

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_3(28+4x)=\log_3(18-x).

Показать решение

Решение

28+4x=18-x,

5x=-10,

x=-2.

Сделаем проверку.

\log_3(28+4\cdot(-2))=\log_3(18-(-2)),

\log_3 20=\log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.

Ответ

-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №288

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение

Решение

Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7\neq1, тогда x>7 и x\neq8.

Так как 2=\log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и x\neq8, то получаем уравнение \log_{x-7}81=\log_{x-7}(x-7)^2.

Поэтому (x-7)^2=81,

x-7=\pm9,

x_1=16,

x_2=-2.

x_2=-2 решением не является, так как x>7.

Ответ

16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №287

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_3(12-x)=4.

Показать решение

Решение

Так как 4=\log_33^4=\log_381, то \log_3(12-x)=\log_381,

12-x=81,

x=-69.

Ответ

-69
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №286

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_6(5x+27)=\log_6(3+x)+1.

Показать решение

Решение

\log_6(5x+27)=\log_6(3+x)+\log_66,

\log_6(5x+27)=\log_6(6\cdot(3+x)),

\log_6(5x+27)=\log_6(18+6x),

5x+27=18+6x,

x=9.

Проверка:

\log_6(5\cdot9+27)=\log_6(3+9)+1,

\log_672=\log_612+1,

\log_672=\log_672.

x=9 — корень уравнения.

Ответ

9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №284

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_{14}(x-3)=\log_{14}(8x-31).

Показать решение

Решение

x-3=8x-31,

7x=28,

x=4.

Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №34

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_42^{2x+5}=4.

Показать решение

Решение

Воспользуемся формулой: 

\log_{a}b=x \Leftrightarrow a^x=b

Значит:

\log_{4}2^{2x+5}=\log_{4}256

2^{2x+5}=256

2^{2x+5}=2^8

2x+5=8

2x=3

x=\frac{3}{2}=1,5

Ответ

1,5

Задание №33

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_4(2-x)=\log_{16}25.

Показать решение

Решение

Воспользуемся формулой: 

\log_{a^k}x=\frac{1}{k}\log_{a}x, k\neq 0

Получим:

\log_{4}(2-x)=\log_{4^2}25

\log_{4}(2-x)=\frac{1}{2}\log_{4}25

2\log_{4}(2-x)=\log_{4}25

\log_{4}(2-x)^2=\log_{4}25

(2-x)^2=25

|2-x|=5

2-x=5

x=-3

Ответ

-3

Задание №26

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_7(9-x)=3\log_73.

Показать решение

Решение

Выполним преобразования:

\log_7(9-x)=\log_73^3

Раскроем знак логарифма:

9-x=3^3

9-x=27

-x=27-9

x=-18

Ответ

-18

Задание №25

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_2(7-x)=5.

Показать решение

Решение

Раскроем знак логарифма и выполним преобразования:

7-x=2^5

7-x=32

-x=32-7

x=-25

Ответ

-25